Considere a função
.
a) Localize graficamente e analiticamente as raízes de
.
b) Determine uma aproximação
para a raiz negativa de
usando o método de Newton com uma precisão
.
a) Localize graficamente e analiticamente as raízes de
b) Determine uma aproximação
Passo 1
Então, olha só o que a questão pede: temos a função
a) localizar, graficamente e “analiticamente”, as raízes (ou seja, os pontos onde
b) calcular, por Newton, uma aproximação
Isso é conteúdo de análise de funções: teoria de raízes (continuidade/Teorema do Valor Intermediário) e método de Newton–Raphson. Vamos precisar saber:
- Que
é contínua e a ideia de testar sinais em pontos para achar intervalos com troca de sinal. - A fórmula de Newton:
e a derivada
Passo 2
Teoria da localização de raízes (analítica):
- Uma função contínua que muda de sinal num intervalo
tem pelo menos uma raiz ali (Teorema do Valor Intermediário). - Testamos alguns pontos para ver onde
passa de positivo para negativo ou vice-versa.
Passo 3
Vamos calcular sinais de
em pontos estratégicos:
Logo, em
há uma raiz negativa.
Agora do lado positivo:
Agora do lado positivo:
Em
há uma raiz positiva.
Assim, graficamente seria onde o gráfico cruza o eixo
, e analiticamente usamos esses testes de sinal.
Passo 4
Para a parte (b), método de Newton para achar a raiz negativa em
.
Recapitulando:
Recapitulando:
- Fórmula:
. - Temos
. - Critério de parada:
.
Passo 5
Escolhendo um chute inicial no meio do intervalo, digamos
.
Iteramos:
Iteramos:
-
-
-
-
→ paramos aqui.
Resposta
As duas raízes de estão em aproximadamente
- raiz negativa:
- raiz positiva:
E, pelo método de Newton, a aproximação da raiz negativa com
é