Considere a função f(x)=3 x^2+sen x-2.
a) Localize graficamente e analiticamente as raízes de f(x).
b) Determine uma aproximação barx para a raiz negativa de f(x) usando o método de Newton com uma precisão varepsilon=0,001.

Passo 1

Então, olha só o que a questão pede: temos a função

a) localizar, graficamente e “analiticamente”, as raízes (ou seja, os pontos onde f(x)=3x^2+sen x-2)
b) calcular, por Newton, uma aproximação f(x)=0 da raiz negativa com precisão bar x.
Isso é conteúdo de análise de funções: teoria de raízes (continuidade/Teorema do Valor Intermediário) e método de Newton–Raphson. Vamos precisar saber:
  • Que varepsilon=0,001 é contínua e a ideia de testar sinais em pontos para achar intervalos com troca de sinal.
  • A fórmula de Newton:
f
e a derivada xn+1=xn-f(xn)f'(xn),.

Passo 2

Teoria da localização de raízes (analítica):
  1. Uma função contínua que muda de sinal num intervalo [a,b] tem pelo menos uma raiz ali (Teorema do Valor Intermediário).
  2. Testamos alguns pontos para ver onde f(x) passa de positivo para negativo ou vice-versa.

Passo 3

Vamos calcular sinais de f(x) em pontos estratégicos:
Logo, em f(-2)=3cdot4+sen(-2)-2=12-2-0,909approx9,091>0 há uma raiz negativa.
Agora do lado positivo:
Em f(-1)=3cdot1+sen(-1)-2=3-2-0,842approx0,158>0 há uma raiz positiva.
Assim, graficamente seria onde o gráfico cruza o eixo f(-0,5)=3cdot0,25+sen(-0,5)-2=0,75-0,479-2approx-1,729<0, e analiticamente usamos esses testes de sinal.

Passo 4

Para a parte (b), método de Newton para achar a raiz negativa em [-1,-0,5].
Recapitulando:
  • Fórmula: xn+1=xn-dfracf(xn)f'(xn).
  • Temos f'(x)=6x+cos x.
  • Critério de parada: |xn+1-xn|.

Passo 5

Escolhendo um chute inicial no meio do intervalo, digamos x0=-0,75.
Iteramos:
  1. x0=-0,75
    f(x0)=-0,9941, f'(x0)=-3,7683
    x1=-0,75--0,9941-3,7683=-0,75-0,2638=-1,0138
    |x1-x0|=0,2638>0,001
  2. x1=-1,0138
    f(x1)=0,2339, f'(x1)=-5,5530
    x2=-1,0138-0,2339-5,5530=-1,0138+0,0421=-0,9717
    |x2-x1|=0,0421>0,001
  3. x2=-0,9717
    f(x2)=0,0072, f'(x2)=-5,2668
    x3=-0,9717-0,0072-5,2668=-0,9717+0,0014=-0,9703
    |x3-x2|=0,0014>0,001
  4. x3=-0,9703
    f(x3)=-0,0015, f'(x3)=-5,2578
    x4=-0,9703--0,0015-5,2578=-0,9703-0,0003=-0,9706
    |x4-x3|=0,0003<0,001 → paramos aqui.

Resposta

As duas raízes de estão em aproximadamente
  • raiz negativa: f(x)=3x^2+sen x-2
  • raiz positiva: xapprox-0,9706
E, pelo método de Newton, a aproximação da raiz negativa com xapprox0,6760 é
varepsilon=0,001

Exercícios relacionados