Considere a função
. Qual dos itens abaixo é verdadeiro?
Escolha uma opção
a.
é crescente em
e decrescente em
b.
é decrescente em
e crescente em
c.
é crescente em
e decrescente em
.
d.
é crescente em
e decrescente em
.
e.
é decrescente em
e crescente em
.
Escolha uma opção
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! Temos a função
e precisamos descobrir em quais intervalos ela é crescente ou decrescente. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em cada ponto.
Usamos a regra do quociente para derivar
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
. O sinal da derivada nos indica se a função está crescendo (
) ou decrescendo (
).
Primeiro, encontramos onde a derivada é zero ou indefinida:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são
e
.
Além disso, a derivada é indefinida quando o denominador é zero, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos baseados nos pontos críticos
,
e
, e testar o sinal da derivada em cada intervalo:
- Intervalo
: Escolha
- Intervalo
: Escolha
- Intervalo
: Escolha
- Intervalo
: Escolha
Resposta
A função
é crescente em
e decrescente em
. Portanto, a alternativa correta é:
c.
é crescente em
e decrescente em
.