Considere a função f(x)=x^2+3x-1. Qual dos itens abaixo é verdadeiro?
Escolha uma opção
a. f é crescente em (-infty,-1) cup(3,+infty) e decrescente em (-1,1) cup(1,3)
b. f é decrescente em (-infty,-1) cup(3,+infty) e crescente em (-1,1) cup(1,3)
c. f é crescente em (-infty,-1) cup(1,+infty) e decrescente em (-1,1).
d. f é crescente em (-infty,-1) e decrescente em (-1,1) cup(1,+infty).
e. f é decrescente em (-infty,-1) e crescente em (-1,1) cup(1,+infty).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! Temos a função f(x) = x^2 + 3x - 1 e precisamos descobrir em quais intervalos ela é crescente ou decrescente. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em cada ponto.
Usamos a regra do quociente para derivar f(x) :
f'(x) = (2x)(x - 1) - (x^2 + 3)(1)(x - 1)^2
Simplificando:
f'(x) = 2x(x - 1) - (x^2 + 3)(x - 1)^2 = 2x^2 - 2x - x^2 - 3(x - 1)^2 = x^2 - 2x - 3(x - 1)^2

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da derivada f'(x) . O sinal da derivada nos indica se a função está crescendo ( f'(x) > 0 ) ou decrescendo ( f'(x) < 0 ).
Primeiro, encontramos onde a derivada é zero ou indefinida:
f'(x) = 0 Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, as soluções são x = 3 e x = -1 .
Além disso, a derivada é indefinida quando o denominador é zero, ou seja, x = 1 .

Passo 4

Agora, vamos dividir a linha dos números em intervalos baseados nos pontos críticos x = -1 , x = 1 e x = 3 , e testar o sinal da derivada em cada intervalo:
  1. Intervalo (-∞, -1): Escolha x = -2
f'(-2) = 4 + 4 - 39 = 59 > 0 Rightarrow Crescente
  1. Intervalo (-1, 1): Escolha x = 0
f'(0) = 0 - 0 - 31 = -3 < 0 Rightarrow Decrescente
  1. Intervalo (1, 3): Escolha x = 2
f'(2) = 4 - 4 - 31 = -3 < 0 Rightarrow Decrescente
  1. Intervalo (3, +∞): Escolha x = 4
f'(4) = 16 - 8 - 39 = 59 > 0 Rightarrow Crescente

Resposta

A função f(x) é crescente em (-infty, -1) cup (1, +infty) e decrescente em (-1, 1) . Portanto, a alternativa correta é:
c. f é crescente em (-infty,-1) cup(1,+infty) e decrescente em (-1,1) .

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