Em relação ao máximo absoluto da função f(x)=43 x^3+2 x^2-3 x no intervalo [-2,2] podemos afirmar que:
Escolha uma opção:
a. f possui máximo absoluto em x=-2
b. f possui máximo absoluto em x=2
c. f não possui máximo absoluto no intervalo [-2,2]
d. f possui máximo absoluto em x=-32
e. f possui máximo absluto em x=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = 43x^3 + 2x^2 - 3x e queremos descobrir onde ela atinge o máximo absoluto no intervalo de [-2, 2]. Isso envolve calcular derivadas para encontrar os pontos críticos e avaliar os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) , que nos ajuda a encontrar onde a função tem inclinação zero (pontos críticos). A derivada de f(x) é:
f'(x) = ddx(43x^3 + 2x^2 - 3x) = 4x^2 + 4x - 3

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos onde a derivada é igual a zero, pois esses são os candidatos a máximos ou mínimos locais. Resolvemos a equação:
4x^2 + 4x - 3 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 4 , b = 4 e c = -3 :
x = -4 pm raiz16 + 488 = -4 pm raiz648 = -4 pm 88
Então, temos duas soluções:
x = 48 = 12
x = -128 = -32

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos x = 12 e x = -32 , vamos calcular o valor de f(x) nesses pontos e também nos extremos do intervalo, ou seja, em x = -2 e x = 2 .
Calculando:
  • Para x = -2 :
f(-2) = 43(-2)^3 + 2(-2)^2 - 3(-2) = 43(-8) + 2(4) + 6 = -323 + 8 + 6 = -323 + 243 + 183 = 103
  • Para x = 12 :
f(12) = 43(12)^3 + 2(12)^2 - 3(12) = 43(18) + 2(14) - 32 = 16 + 12 - 32 = 16 - 1 = -56
  • Para x = -32 :
f(-32) = 43(-32)^3 + 2(-32)^2 - 3(-32) = 43(-278) + 2(94) + 92 = -10824 + 184 + 5412 = -92 + 92 + 92 = 92
  • Para x = 2 :
f(2) = 43(2)^3 + 2(2)^2 - 3(2) = 43(8) + 2(4) - 6 = 323 + 8 - 6 = 323 + 243 - 183 = 383

Passo 5

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
  • f(-2) = 103
  • f(12) = -56
  • f(-32) = 92
  • f(2) = 383
O maior valor entre eles é 383 , que ocorre em x = 2 .

Resposta

A função f possui máximo absoluto em x = 2 . Portanto, a opção correta é a letra b.

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