Considere a função lang<=cdot mid cdotrang<=: R^3 times R^3 R dada por
lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==(lll x1 & x2 & x3 )(rrr 1 & -1 & 0 -1 & 4 & 0 0 & 0 & 1 )(l y1 y2 y3 )
(a) Verifique que lang<=cdot, cdotrang<= define um produto interno em R^3.
(b) Seja V=L(3,4,0) subset R^3. Calcule o ponto de V mais próximo (em relação a lang<=cdot, cdotrang<=) de (0,1,0).
(c) Determine uma equação cartesiana e uma base ortonormal para o complemento ortogonal de V, em relação ao produto interno lang<=cdot, cdotrang<=.
(d) Seja PV: R^3 R^3 a projecção ortogonal de R^3 sobre V. Indique, em relação ao produto interno lang<=cdot, cdotrang<=, uma base ortonormal de R^3 na qual a representação matricial de PV é dada por (lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0).

Passo 1

O enunciado define em o produto interno
e pede:
(a) verificar que é produto interno;
(b) projeção ortogonal de em ;
(c) equação cartesiana e base ortonormal de ;
(d) uma base ortonormal de em que a matriz de seja .

Passo 2

Para ser produto interno precisamos de simetria e positividade definida de A.
  1. A é simétrica porque A^T=A.
  2. Os menores principais são
detl([1]r)=1>0, det1&-1-1&4=1cdot4-(-1)^2=3>0, det A=3cdot1=3>0
Logo A é positiva definida. Portanto lang<=cdot,cdotrang<= é produto interno.

Passo 3

Seja v=(3,4,0) e u=(0,1,0). A projeção ortogonal vale
PV(u) =lang<= u,vrang<=lang<= v,vrang<=,v
Calculamos
A,v=1&-1&0-1&4&00&0&1 340 =-1130,
lang<= u,vrang<= =u^T(A,v) =(0,1,0)cdot(-1,13,0) =13, lang<= v,vrang<= =v^T(A,v) =(3,4,0)cdot(-1,13,0) =49
Logo
PV(0,1,0) =1349(3,4,0) =l(tfrac3949,tfrac5249,0r)

Passo 4

O complemento ortogonal é
V^perp=(x,y,z)mid lang<=(x,y,z),(3,4,0)rang<==0 ;Longrightarrow; -x+13y=0
Portanto a equação cartesiana de V^perp é
x-13y=0
Para obter uma base ortonormal escolhemos vetores independentes em V^perp, por exemplo
u1=(13,1,0), u2=(0,0,1)
Calcula-se
lang<= u1,u1rang<==147=(7raiz3)^2, lang<= u2,u2rang<==1, lang<= u1,u2rang<==0
Logo uma base ortonormal de V^perp é
e2=17raiz3(13,1,0), e3=(0,0,1)

Passo 5

Para diagonalizar como basta completar uma base ortonormal de tomando primeiro
e em seguida do passo anterior.

Resposta

(a) A matriz é simétrica e positiva definida (menores principais >0), logo define produto interno.
(b) .
(c) tem equação cartesiana . Uma base ortonormal é
(d) Uma base ortonormal de em que tem matriz é

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