(a) Verifique que lang<=cdot, cdotrang<= define um produto interno em R^3.
(b) Seja V=L(3,4,0) subset R^3. Calcule o ponto de V mais próximo (em relação a lang<=cdot, cdotrang<=) de (0,1,0).
(c) Determine uma equação cartesiana e uma base ortonormal para o complemento ortogonal de V, em relação ao produto interno lang<=cdot, cdotrang<=.
(d) Seja PV: R^3 R^3 a projecção ortogonal de R^3 sobre V. Indique, em relação ao produto interno lang<=cdot, cdotrang<=, uma base ortonormal de R^3 na qual a representação matricial de PV é dada por (lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0).
Passo 1
O enunciado define em o produto interno
e pede:
(a) verificar que é produto interno;
(b) projeção ortogonal de em ;
(c) equação cartesiana e base ortonormal de ;
(d) uma base ortonormal de em que a matriz de seja .
Passo 2
Para ser produto interno precisamos de simetria e positividade definida de A.
A é simétrica porque A^T=A.
Os menores principais são
detl([1]r)=1>0, det1&-1-1&4=1cdot4-(-1)^2=3>0, det A=3cdot1=3>0
Logo A é positiva definida. Portanto lang<=cdot,cdotrang<= é produto interno.
Passo 3
Seja v=(3,4,0) e u=(0,1,0). A projeção ortogonal vale
Para diagonalizar como basta completar uma base ortonormal de tomando primeiro
e em seguida do passo anterior.
Resposta
(a) A matriz é simétrica e positiva definida (menores principais >0), logo define produto interno.
(b) .
(c) tem equação cartesiana . Uma base ortonormal é