f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) z=f(x, y) é contínua em (0,0) ?
(b) Encontre \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
(c) z=f(x, y) é diferenciável em (0,0) ? Justifique.
(d) \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} são contínuas em (0,0) ?
e pede:
(a) verificar se f é contínua em (0,0),
(b) encontrar \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} em todo \mathbb{R}^2,
(c) checar diferenciabilidade em (0,0) e
(d) ver se as derivadas parciais são contínuas em (0,0).
que diverge quando r\to0 salvo em ângulos especiais. Assim, \frac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0). O mesmo ocorre com \frac{\partial f}{\partial y}.
Resposta
(a) f não é contínua em (0,0).
(b) Para (x,y)\neq(0,0),
e em (0,0) ambas valem 0.
(c) f não é diferenciável em (0,0).
(d) \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} não são contínuas em (0,0).