A letra \Omega nas questões abaixo tem o valor do último dígito de sua matrícula. Use-o para responder as questões abaixo.
Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por (x(t), y(t)), com a \leq t \leq b. Suponha que x^{\prime} e y^{\prime} são funçōes contínuas que nāo se anulam simultaneamente em [a, b] e que a curva C é percorrida exatamente uma vez quando t avança de t=a para t=b. Nessas condições, o comprimento de C é dado pela integral definida
L=\int_{a}^{b} \sqrt{x^{\prime}(t)^{2}+y^{\prime}(t)^{2}} \mathrm{~d} t
Calcule o comprimento da curva plana dada por x(t)=(\Omega+2) \cos (t), y(t)=(\Omega+2) \operatorname{sen}(t), para 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
x(t) = (\Omega+2)\cos(t), \quad y(t) = (\Omega+2)\sin(t), \quad 0 \le t \le 2\pi,
usando a fórmula de comprimento de arco
L = \int_{a}^{b} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2} + \bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;\mathrm{d}t.
Aqui temos uma circunferência de raio \Omega+2, percorrida exatamente uma vez.

Passo 2

Calculemos as derivadas:
x'(t) = -(\Omega+2)\sin(t), \quad y'(t) = (\Omega+2)\cos(t).
Logo, dentro da raiz surge
\bigl(x'(t)\bigr)^{2} + \bigl(y'(t)\bigr)^{2} = (\Omega+2)^{2}\bigl(\sin^{2}t + \cos^{2}t\bigr) = (\Omega+2)^{2}.

Passo 3

Portanto o integrando é constante:
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2} + \bigl(y'(t)\bigr)^{2}} = \Omega+2.
Assim
L = \int_{0}^{2\pi} (\Omega+2)\;\mathrm{d}t = (\Omega+2)\int_{0}^{2\pi}1\;\mathrm{d}t = (\Omega+2)\bigl[\,t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi(\Omega+2).

Resposta

L = 2\pi(\Omega + 2).

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