Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
g(x, y)=e^{-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
g(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}.
Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra da cadeia: ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante, e para uma composição e^{u(x,y)} vale
\frac{\partial}{\partial x}e^{u(x,y)}=e^{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial x}.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} identificamos o expoente
u(x,y)=-x^{2}-y^{2},
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\frac{\partial u}{\partial x}=-2x.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial x} =e^{u(x,y)}\cdot\bigl(-2x\bigr) =-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y} usamos o mesmo expoente
u(x,y)=-x^{2}-y^{2},
e calculamos
\frac{\partial u}{\partial y}=-2y.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial y} =e^{u(x,y)}\cdot\bigl(-2y\bigr) =-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Resposta

\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}

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