Considere a função z=f(x, y) em que
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) z=f(x, y) é contínua em (0,0) ?
(b) Encontre \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
(c) z=f(x, y) é diferenciável em (0,0) ? Justifique.
(d) \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} são contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
(a) verificar se f é contínua em (0,0),
(b) encontrar \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} em todo \mathbb{R}^2,
(c) checar diferenciabilidade em (0,0) e
(d) ver se as derivadas parciais são contínuas em (0,0).

Passo 2

Para testar a continuidade em (0,0), calculamos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).
Tomando a reta y=m x, m\in\mathbb{R}, temos
f(x,mx) =\frac{x\,(m x)}{x^{2}+(m x)^{2}} =\frac{m\,x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{m}{1+m^{2}},
que depende de m. Como o limite varia conforme a direção de aproximação, não existe limite único em (0,0). Logo, f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Para (x,y)\neq(0,0), usamos regra do quociente com U=x\,y e V=x^{2}+y^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{V\,\partial_x U - U\,\partial_x V}{V^{2}} =\frac{(x^{2}+y^{2})(y)-x\,y\,(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{3}-x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{(x^{2}+y^{2})(x)-x\,y\,(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{3}-x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Em (0,0), pelas definições de derivada:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade em (0,0), consideramos a definição:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-\Bigl(f(0,0)+0\cdot x+0\cdot y\Bigr)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\lim_{r\to0}\frac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r^{2}\,r} =\lim_{r\to0}\frac{\cos\theta\sin\theta}{r},
que não tende a zero (diverge quando r\to0). Logo, f não é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Para a continuidade de \frac{\partial f}{\partial x} em (0,0), examinamos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{y\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \approx\frac{r^{3}(\sin^{3}\theta-\sin\theta\cos^{2}\theta)}{r^{4}} =\frac{1}{r}\bigl(\sin^{3}\theta-\sin\theta\cos^{2}\theta\bigr),
que diverge quando r\to0 salvo em ângulos especiais. Assim, \frac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0). O mesmo ocorre com \frac{\partial f}{\partial y}.

Resposta

(a) f não é contínua em (0,0).
(b) Para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
e em (0,0) ambas valem 0.
(c) f não é diferenciável em (0,0).
(d) \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} não são contínuas em (0,0).

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