Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
summ=1^infty (-1)^m m^22^m

Passo 1

O enunciado nos dá a série
summ=1^infty(-1)^mm^22^m
e pede que a gente estude convergência (absoluta ou condicional) e, se possível, encontre o valor da soma. Vamos usar o teste da razão para a convergência absoluta e depois empregar séries de potências para achar a soma.

Passo 2

Para testar convergência absoluta, consideramos
summ=1^infty|(-1)^mm^22^m| =summ=1^inftym^22^m
Aplicando o teste da razão, seja am=m^22^m. Então
L=limmtoinfty|am+1am| =limmtoinfty(m+1)^2/2^,m+1m^2/2^,m =limmtoinfty(m+1)^22,m^2 =12<1
Como L<1, a série sum m^2/2^m converge, logo a série original converge absolutamente.

Passo 3

Convergência condicional só ocorre se a série convergir mas não absolutamente. Aqui já vimos que converge absolutamente, portanto não há convergência condicional — é simplesmente convergente de modo absoluto.

Passo 4

Para calcular a soma, usamos a série de potências conhecida
summ=1^inftym^2x^m =x(1+x)(1-x)^3,
válida para |x|<1. No nosso caso x=-tfrac12, pois (-1)^m/2^m=(-tfrac12)^m. Substituindo:
summ=1^inftym^2l(-tfrac12r)^m =,-12l(1-12r)l(1+12r)^3 =-tfrac12cdottfrac12l(tfrac32r)^3 =-tfrac14tfrac278 =-14cdot827 =-227

Resposta

A série converge absolutamente e sua soma é
-227

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