O enunciado pede para investigar a convergência da série
O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries numéricas: para a parte exponencial, vamos usar o teste da razão; para a parte trigonométrica, o teste de Dirichlet e, em seguida, veremos se há convergência absoluta.
Passo 2
Analisando
aplicamos o teste da razão. Seja
Então
Pelo teste da razão, essa série converge absolutamente.
Passo 3
Agora a série
sumn=1^inftysin nn
Usamos o teste de Dirichlet:
As somas parciais de sin n, isto é sumk=1^Nsin k, são limitadas (pois são termos de uma sequência trigonométrica limitada).
1/n é uma sequência positiva, monótona decrescente e cujo limite é zero.
Portanto, pela condição de Dirichlet, sum sin n /n converge.
Passo 4
Verificamos agora se sumsin n/n converge absolutamente, ou seja, se
sumn=1^infty|sin n|n
converge. Como existe uma infinidade de n tais que |sin n|>=12, por comparação parcial com a série harmônica temos
sumn=1^infty|sin n|n ;>=;sumkin I1/2k,
onde I é um subconjunto infinito de índices, e a série à direita diverge. Logo, sumsin n/n não converge absolutamente (é convergência condicional).
Passo 5
Finalmente, como a série sum n^3/e^n converge absolutamente e sum sin n/n converge (condicionalmente), a soma das duas também converge. A convergência absoluta do conjunto não se verifica por causa da parte sin n/n.
Resposta
A série sumn=1^infty n^3e^n+sumn=1^inftysin nn converge, mas não converge absolutamente (convergência condicional).