Soma de série exponencial e série trigonométrica:
sumn=1^infty n^3e^n+sumn=1^infty sin nn
Determine a convergência da soma.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty n^3e^n ;+;sumn=1^inftysin nn
O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries numéricas: para a parte exponencial, vamos usar o teste da razão; para a parte trigonométrica, o teste de Dirichlet e, em seguida, veremos se há convergência absoluta.

Passo 2

Analisando
sumn=1^infty n^3e^n,
aplicamos o teste da razão. Seja
an=n^3e^n
Então
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinfty(n+1)^3e^,n+1cdote^,nn^3 =1elimntoinftyl(n+1nr)^3 =1e<1
Pelo teste da razão, essa série converge absolutamente.

Passo 3

Agora a série
sumn=1^inftysin nn
Usamos o teste de Dirichlet:
  1. As somas parciais de sin n, isto é sumk=1^Nsin k, são limitadas (pois são termos de uma sequência trigonométrica limitada).
  2. 1/n é uma sequência positiva, monótona decrescente e cujo limite é zero.
    Portanto, pela condição de Dirichlet, sum sin n /n converge.

Passo 4

Verificamos agora se sumsin n/n converge absolutamente, ou seja, se
sumn=1^infty|sin n|n
converge. Como existe uma infinidade de n tais que |sin n|>=12, por comparação parcial com a série harmônica temos
sumn=1^infty|sin n|n ;>=;sumkin I1/2k,
onde I é um subconjunto infinito de índices, e a série à direita diverge. Logo, sumsin n/n não converge absolutamente (é convergência condicional).

Passo 5

Finalmente, como a série sum n^3/e^n converge absolutamente e sum sin n/n converge (condicionalmente), a soma das duas também converge. A convergência absoluta do conjunto não se verifica por causa da parte sin n/n.

Resposta

A série sumn=1^infty n^3e^n+sumn=1^inftysin nn converge, mas não converge absolutamente (convergência condicional).

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