a) Considere a função f(x)=lllm x^2+1 & ; & se x<-3 -3 n & ; & se x=-3 3 x-3 & ; & se x>-3. Determine as constantes m, n de modo que:
a1) Exista lim x -3 f(x)
a2 ) f seja contínua em x=-3
b) Determine as constantes reais a e b de modo que f seja contínua no ponto x0, em cada caso a seguir:
b1) f(x)=ll3 a x^2+2 ; se & x<1 x-2 & ; se x >= 1 (x0=1)
b2) f(x)=ll3 x-3 & se x>2 a x & ; se x=2 x^2+b & ; se x<2 (x0=2)

Passo 1

O enunciado trata de funções definidas em partes (piecewise) e pede critérios de existência de limite e continuidade em pontos de descontinuidade potencial. Vamos usar que para existir limxto x0f(x) é necessário que os limites laterais se igualem, e que para ser contínua em x0 deve valer
limxto x0f(x)=f(x0)

Passo 2

(a 1) Queremos limxto -3^-f(x)=limxto -3^+f(x).
Para x<-3:
limxto -3^-f(x)=limxto -3^-(m x^2+1)=mcdot(-3)^2+1=9m+1
Para x>-3:
limxto -3^+f(x)=limxto -3^+(3x-3)=3cdot(-3)-3=-12
Igualando-os:
9m+1=-12 Longrightarrow 9m=-13 Longrightarrow m=-tfrac139

Passo 3

(a 2) Agora queremos continuidade em x=-3, ou seja
f(-3)=limxto -3f(x)=-12
Como f(-3)=-3n, temos
-3n=-12 Longrightarrow n=4

Passo 4

(
deve ser contínua em resulta

Passo 5

(
deve ser contínua em (x_{0}=2]. Primeiro igualamos limites laterais:
pela esquerda,
pela direita,
Igualando
Para ser contínua, e como obtemos

Resposta

a1) m=-tfrac139 a2) m=-tfrac139 e n=4 b1) a=-1 b2) b=-1 e a=tfrac32

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