(a) Considere a função
. Qual é o raio do maior círculo centrado na origem no interior do qual esta função é analítica?
(b) Expanda esta função em uma série de Maclaurin. Qual é o raio de convergência desta série?
© Use o resultado da parte (b) para determinar uma série de Maclaurin para
.
(d) Determine uma série de Maclaurin para
.
(b) Expanda esta função em uma série de Maclaurin. Qual é o raio de convergência desta série?
© Use o resultado da parte (b) para determinar uma série de Maclaurin para
(d) Determine uma série de Maclaurin para
Passo 1
O enunciado envolve funções logarítmicas complexas: queremos achar a região de analiticidade de , expandir em série de Maclaurin, e então obter séries para e para . Vamos usar conceitos de singularidades em Análise Complexa e a expansão padrão de
.
Passo 2
Em Análise Complexa uma função é analítica num disco quando não há singularidades dentro desse disco. Para a única singularidade finita é o ponto onde
, ou seja
. Logo o maior disco centrado em 0 que não atinge essa singularidade é dado por
e portanto o raio desse disco é 1.
Passo 3
Para expandir em série de Maclaurin, lembramos a série real/complexa padrão:
Essa série converge enquanto
, então seu raio de convergência é também 1.
Passo 4
Basta agora substituir
na série anterior para obter :
Passo 5
Finalmente, note que
Substituindo as duas séries dá
Observamos que
para
par e =2 para
ímpar. Reindexando em
obtemos
Resposta
(a) O raio do disco de analiticidade de centrado em 0 é 1.
(b) A expansão de Maclaurin é com raio de convergência 1.
© Substituindo vem
(d) Finalmente
(b) A expansão de Maclaurin é com raio de convergência 1.
© Substituindo
(d) Finalmente