(a) Considere a função Ln(1+z). Qual é o raio do maior círculo centrado na origem no interior do qual esta função é analítica?
(b) Expanda esta função em uma série de Maclaurin. Qual é o raio de convergência desta série?
© Use o resultado da parte (b) para determinar uma série de Maclaurin para Ln(1-z).
(d) Determine uma série de Maclaurin para .

Passo 1

O enunciado envolve funções logarítmicas complexas: queremos achar a região de analiticidade de , expandir em série de Maclaurin, e então obter séries para e para . Vamos usar conceitos de singularidades em Análise Complexa e a expansão padrão de Ln(1+z).

Passo 2

Em Análise Complexa uma função é analítica num disco quando não há singularidades dentro desse disco. Para a única singularidade finita é o ponto onde Ln(1+z), ou seja 1+z=0. Logo o maior disco centrado em 0 que não atinge essa singularidade é dado por
z=-1
e portanto o raio desse disco é 1.

Passo 3

Para expandir em série de Maclaurin, lembramos a série real/complexa padrão:
Essa série converge enquanto Ln(1+z), então seu raio de convergência é também 1.

Passo 4

Basta agora substituir zto -z na série anterior para obter :

Passo 5

Finalmente, note que
Substituindo as duas séries dá
Observamos que Lnl(tfrac1+z1-zr)=Ln(1+z)-Ln(1-z) para Lnl(tfrac1+z1-zr)=sumn=1^infty(-1)^n-1z^nn+sumn=1^inftyz^nn = sumn=1^inftyl[(-1)^n-1+1r]z^nn par e =2 para (-1)^n-1+1=0 ímpar. Reindexando em n obtemos

Resposta

(a) O raio do disco de analiticidade de centrado em 0 é 1.
(b) A expansão de Maclaurin é com raio de convergência 1.
© Substituindo Ln(1+z) vem
(d) Finalmente

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