Usando o resultado obtido em 16, determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta
da região entre os gráficos de
e
.
Passo 1
Aqui a ideia é girar a região limitada pelas curvas em torno da reta vertical, então vamos usar o método das cascas cilíndricas. Precisamos: achar os pontos de interseção entre as curvas, identificar qual está acima da outra, definir raio e altura das cascas e montar o integral.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções: resolvemos a equação
i
i
Reorganizando,
Fatorando,
dá as raízes x = 0 e x = 1.
Passo 3
Agora determinamos qual curva está acima no intervalo [0,1]. Computamos
i
i
diferença: parabola menos reta:
Para x em (0,1), isso é positivo, logo a parábola y = -2x^2+4x fica acima de y = 2x.
Passo 4
No método das cascas cilíndricas, para giro em torno de x = -1, uma casca em abscissa x tem:
- raio = distância de x até a reta =
- altura = diferença entre curva de cima e de baixo =
Passo 5
O volume é dado por
Substituindo r(x) e h(x):
Passo 6
Basta desenvolver e integrar:
Expandindo dentro do integral:
Expandindo dentro do integral:
Então