Usando o resultado obtido em 16, determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x=-1 da região entre os gráficos de y=2 x e y=-2 x^2+4 x.

Passo 1

Aqui a ideia é girar a região limitada pelas curvas em torno da reta vertical, então vamos usar o método das cascas cilíndricas. Precisamos: achar os pontos de interseção entre as curvas, identificar qual está acima da outra, definir raio e altura das cascas e montar o integral.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas funções: resolvemos a equação
i
-2x^2+4x = 2x
Reorganizando,
-2x^2+4x - 2x = 0
-2x^2 + 2x = 0
Fatorando,
-2x(x - 1) = 0
dá as raízes x = 0 e x = 1.

Passo 3

Agora determinamos qual curva está acima no intervalo [0,1]. Computamos
i
diferença: parabola menos reta:
(-2x^2+4x) - (2x) = -2x^2 + 2x = 2x(1-x)
Para x em (0,1), isso é positivo, logo a parábola y = -2x^2+4x fica acima de y = 2x.

Passo 4

No método das cascas cilíndricas, para giro em torno de x = -1, uma casca em abscissa x tem:
  • raio = distância de x até a reta = r(x)=x - (-1)=x+1
  • altura = diferença entre curva de cima e de baixo = h(x)=(-2x^2+4x) - (2x) = -2x^2+2x = 2x(1-x)

Passo 5

O volume é dado por
V = integralx=0^1 2pi ;r(x);h(x),dx
Substituindo r(x) e h(x):
V = integral0^1 2pi (x+1) l(2x(1-x)r),dx = 4pi integral0^1 (x+1)(x - x^2),dx

Passo 6

Basta desenvolver e integrar:
Expandindo dentro do integral:
(x+1)(x - x^2) = x(x - x^2) + 1(x - x^2) = (x^2 - x^3) + (x - x^2) = x - x^3
Então
V = 4pi integral0^1 (x - x^3),dx = 4pi l[tfracx^22 - tfracx^44r]0^1 = 4pi l(tfrac12 - tfrac14r) = 4pi cdot tfrac14 = pi

Resposta

pi

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