Seja uma esfera de raio
. Seja
a região extraída da esfera cortando-a por um plano perpedicular ao seu raio e a uma distância
acima de seu centro. Mostre que
tem volume:
Passo 1
O enunciado pede o volume de um “tampo” esférico (spherical cap) obtido cortando uma esfera de raio
por um plano a uma altura
acima do centro. Vamos usar integração por discos (fatias cilíndricas) para calcular esse volume.
Passo 2
Em cada plano paralelo ao plano de corte, a uma altura
do centro, a seção transversal é um círculo de raio
. Então a área dessa seção é
. Como queremos a parte que vai de
até o topo em
, montamos o integral
Passo 3
Agora calculamos o integral. Primeiro achamos a primitiva:
Passo 4
Aplicando os limites de
a
:
Passo 5
Fazendo as contas no interior:
Passo 6
Reconhecemos que o numerador fatorado é
, pois