Seja uma esfera de raio r. Seja R a região extraída da esfera cortando-a por um plano perpedicular ao seu raio e a uma distância h acima de seu centro. Mostre que R tem volume:
V=pi(r-h)^23(2 r+h)

Passo 1

O enunciado pede o volume de um “tampo” esférico (spherical cap) obtido cortando uma esfera de raio r por um plano a uma altura h acima do centro. Vamos usar integração por discos (fatias cilíndricas) para calcular esse volume.

Passo 2

Em cada plano paralelo ao plano de corte, a uma altura z do centro, a seção transversal é um círculo de raio raizr^2 - z^2. Então a área dessa seção é A(z) = pil(r^2 - z^2r). Como queremos a parte que vai de z=h até o topo em z=r, montamos o integral
V = integralz=h^z=r A(z),dz = integralh^r pil(r^2 - z^2r),dz

Passo 3

Agora calculamos o integral. Primeiro achamos a primitiva:
integral l(r^2 - z^2r)dz = r^2 z - z^33

Passo 4

Aplicando os limites de h a r:
V = pil[l(r^2 r - tfracr^33r) - l(r^2 h - tfrach^33r)r] = pil(r^3 - tfracr^33 - r^2 h + tfrach^33r)

Passo 5

Fazendo as contas no interior:
r^3 - tfracr^33 = tfrac2r^33, tfrac2r^33 - r^2 h + tfrach^33 = tfrac2r^3 - 3r^2h + h^33

Passo 6

Reconhecemos que o numerador fatorado é (r-h)^2(2r+h), pois
(r-h)^2(2r+h) = (r^2 - 2rh + h^2)(2r+h) = 2r^3 - 3r^2h + h^3

Resposta

V = pi(r-h)^23,(2r+h)

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