Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
A questão pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
. O conteúdo envolvido é a resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (i) achar a solução geral da equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
e escrevemos a equação característica
. Resolvendo, factorizamos
, de onde
ou
. Assim, a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, como o lado direito é
, supomos uma solução do tipo
. Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo na equação original:
Passo 5
Agrupando termos em
e
, obtemos
Passo 6
Igualamos coeficientes para montar o sistema:
Passo 7
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Passo 8
Então
. Logo,
Passo 9
A solução geral da EDO é a soma de
com
.