Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 sen x

Passo 1

A questão pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não-homogênea y'' - 3y' - 4y = 2sin x. O conteúdo envolvido é a resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos: (i) achar a solução geral da equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y'' - 3y' - 4y = 0 e escrevemos a equação característica r^2 - 3r - 4 = 0. Resolvendo, factorizamos (r - 4)(r + 1) = 0, de onde r = 4 ou r = -1. Assim, a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^4x + C2 e^-x

Passo 3

Para a parte particular, como o lado direito é 2sin x, supomos uma solução do tipo yp(x) = A cos x + B sin x. Calculamos as derivadas:
yp'(x) = -Asin x + Bcos x,
yp''(x) = -Acos x - Bsin x

Passo 4

Substituindo na equação original:
yp'' - 3yp' - 4yp = (-Acos x - Bsin x) - 3(-Asin x + Bcos x) - 4(Acos x + Bsin x)

Passo 5

Agrupando termos em cos x e sin x, obtemos
(-5A - 3B)cos x + (3A - 5B)sin x = 2sin x

Passo 6

Igualamos coeficientes para montar o sistema:
-5A - 3B = 0, 3A - 5B = 2

Passo 7

Da primeira equação vem A = -tfrac3B5. Substituindo na segunda:
3l(-tfrac3B5r) - 5B = 2 implies -tfrac9B5 - 5B = 2 implies -tfrac34B5 = 2 implies B = -tfrac517

Passo 8

Então A = -tfrac35B = tfrac317. Logo,
yp(x) = tfrac317cos x - tfrac517sin x

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma de yh com yp.

Resposta

y(x) = C1 e^4x + C2 e^-x + 317cos x - 517sin x

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