Considere a função
dada por
. a) Mostre que
é estritamente crescente e bijetora. b) Encontre a inversa
no ponto
(ou seja, resolva
).
Passo 1
O enunciado define a função
,
e pede duas coisas: (a) mostrar que
é estritamente crescente e bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora), e (b) achar
, isto é, resolver
Para (a) vamos usar o teste da derivada para monotonicidade e argumentos sobre limites para bijetividade. Para (b) aplicamos técnicas de fatoração de polinômio e teorema das raízes racionais.
Passo 2
Calculemos a derivada de
:
Como
para todo
, temos
em
. Logo,
o que prova que
é estritamente crescente.
Passo 3
Uma função estritamente crescente é injetora (valores diferentes de
nunca dão o mesmo
). Além disso, sendo
um polinômio ímpar de grau 3, vale
Isso garante que
atinge todo valor real (sobrejetividade). Portanto,
é bijetora.
Passo 4
Para encontrar
, basta resolver a equação
Subtraindo 4 de ambos os lados, obtemos o polinômio
Passo 5
Pelo Teorema das Raízes Racionais, os únicos candidatos inteiros são
. Testando
:
logo
é raiz. Fatorando,
O polinômio quadrático
tem discriminante
, sem raízes reais. Assim, a única solução real é
.