Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=x^{3}+2 x+1. a) Mostre que f é estritamente crescente e bijetora. b) Encontre a inversa f^{-1} no ponto y=4 (ou seja, resolva x^{3}+2 x+1=4 ).

Passo 1

O enunciado define a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},
f(x)=x^3+2x+1,
e pede duas coisas: (a) mostrar que f é estritamente crescente e bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora), e (b) achar f^{-1}(4), isto é, resolver
x^3+2x+1=4.
Para (a) vamos usar o teste da derivada para monotonicidade e argumentos sobre limites para bijetividade. Para (b) aplicamos técnicas de fatoração de polinômio e teorema das raízes racionais.

Passo 2

Calculemos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^3+2x+1\bigr)=3x^2+2.
Como 3x^2\ge0 para todo x, temos 3x^2+2>0 em \mathbb{R}. Logo,
f'(x)>0\quad\forall x\in\mathbb{R},
o que prova que f é estritamente crescente.

Passo 3

Uma função estritamente crescente é injetora (valores diferentes de x nunca dão o mesmo f(x)). Além disso, sendo f(x) um polinômio ímpar de grau 3, vale
\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.
Isso garante que f atinge todo valor real (sobrejetividade). Portanto, f é bijetora.

Passo 4

Para encontrar f^{-1}(4), basta resolver a equação
x^3+2x+1=4.
Subtraindo 4 de ambos os lados, obtemos o polinômio
x^3+2x-3=0.

Passo 5

Pelo Teorema das Raízes Racionais, os únicos candidatos inteiros são \pm1,\pm3. Testando x=1:
1^3+2\cdot1-3=1+2-3=0,
logo x=1 é raiz. Fatorando,
x^3+2x-3=(x-1)(x^2+x+3).
O polinômio quadrático x^2+x+3 tem discriminante \Delta=1-12=-11<0, sem raízes reais. Assim, a única solução real é x=1.

Resposta

f é estritamente crescente e bijetora, e
f^{-1}(4)=1.

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