Dada f(x)=x|x|+\cos \left(x^{3}\right), classifique-a como par, ímpar ou nenhuma das opções.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a função
f(x)=x|x|+\cos\bigl(x^{3}\bigr)
como par, ímpar ou nenhuma das opções.
Conteúdo: definição de funções pares e ímpares. Precisaremos lembrar que
f é par se, para todo x, f(-x)=f(x).
f é ímpar se, para todo x, f(-x)=-f(x).

Passo 2

Separemos f em duas partes:
g(x)=x|x| \quad\text{e}\quad h(x)=\cos\bigl(x^{3}\bigr).
Vamos classificar g e h separadamente.

Passo 3

Para g(x)=x|x|, calculemos g(-x):
g(-x)=(-x)\,\bigl|{-x}\bigr| = -x\,|x| = -\bigl(x|x|\bigr) = -g(x).
Logo, g satisfaz g(-x)=-g(x), ou seja, g é ímpar.

Passo 4

Para h(x)=\cos\bigl(x^{3}\bigr), usamos que o cosseno é função par, pois \cos(-u)=\cos(u). Assim,
h(-x)=\cos\bigl((-x)^{3}\bigr)=\cos\bigl(-x^{3}\bigr)=\cos\bigl(x^{3}\bigr)=h(x).
Portanto, h é par.

Passo 5

Agora,
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x).
Comparando com f(x)=g(x)+h(x) temos
f(-x)\neq f(x) (pois o termo g muda de sinal),
f(-x)\neq -f(x) (pois -f(x)=-g(x)-h(x), diferente de -g(x)+h(x)).

Resposta

A função f(x)=x|x|+\cos(x^{3}) não é par nem ímpar; é nenhuma das opções.

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