Verifique se a função f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+\sin \left(x^{2}\right) é par, ímpar ou nenhuma das opções.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+\sin\bigl(x^{2}\bigr)
é par, ímpar ou nenhuma das opções. Para isso, vamos usar a definição:
f é par se, para todo x, f(-x)=f(x).
f é ímpar se, para todo x, f(-x)=-f(x).

Passo 2

Calculemos f(-x). Substituindo -x na expressão de f, temos
f(-x)=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}+\sin\bigl((-x)^{2}\bigr).
Note que \frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} porque soma é comutativa, e
\sin\bigl((-x)^{2}\bigr)=\sin\bigl(x^{2}\bigr)
pois (-x)^{2}=x^{2}.

Passo 3

Portanto
f(-x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+\sin\bigl(x^{2}\bigr)=f(x).
Isso mostra que, para todo x, vale f(-x)=f(x).

Resposta

A função f é par.

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