Considere a função f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}x^{2} \mathrm{e}^{-x}, & \text { se } x \geq 0 \\\ \left(x^{2}+x\right)^{3}, & \text { se } x \leq 0\end{cases}
[2.5 pontos] Seja F:[1,3] \rightarrow \mathbb{R}\] a função definida por \(F(x)=\int_{1}^{x^{2}} s \sqrt{s^{2}-1} d s. Calcule F(2), d F(x) / d x e, em seguida, d F(2) / d x.

Passo 1

O enunciado define a função
F(x) = \int_{1}^{\,x^{2}} s \sqrt{s^{2}-1}\,ds
para x\in[1,3]. Ele pede:
  1. Calcular F(2).
  2. Determinar \tfrac{dF}{dx} usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
  3. Avaliar \tfrac{dF}{dx} em x=2.

Passo 2

Para encontrar F(2) precisamos avaliar
F(2) = \int_{1}^{4} s \sqrt{s^{2}-1}\,ds.
Fazendo a substituição u = s^{2}-1, temos du = 2s\,ds, logo
\int s \sqrt{s^{2}-1}\,ds = \frac{1}{2}\int \sqrt{u}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{1}{3}(s^{2}-1)^{3/2}.
Aplicando os limites de s=1 a s=4,
F(2) = \Bigl[\tfrac{1}{3}(s^{2}-1)^{3/2}\Bigr]_{1}^{4} = \frac{1}{3}\bigl((4^{2}-1)^{3/2} - (1^{2}-1)^{3/2}\bigr) = \frac{1}{3}\,(15)^{3/2}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limite superior dependente,
\frac{dF}{dx} = \bigl[s\sqrt{s^{2}-1}\bigr]_{s = x^{2}}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = \bigl(x^{2}\sqrt{x^{4}-1}\bigr)\cdot 2x = 2x^{3}\sqrt{x^{4}-1}.

Passo 4

Basta agora avaliar em x=2:
\frac{dF}{dx}\Bigl|_{x=2} = 2\cdot 2^{3}\,\sqrt{2^{4}-1} = 16\,\sqrt{15}.

Resposta

F(2) = \tfrac{1}{3}\,15^{3/2},
\displaystyle \frac{dF}{dx} = 2x^{3}\sqrt{x^{4}-1},
\displaystyle \frac{dF}{dx}\Bigl|_{x=2} = 16\sqrt{15}.

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