Dado o modelo de mercado
Q_{d}=Q_{s}
Q_{d}=21-3 P
Q_{5}=-4+8 P
Calcule P* e Q* por (a) eliminaçăo de variáveis e (b) usando as fórmulas (3.4) e (3.5).
(Use fraçöes em vez de decimais.)

Passo 1

O enunciado traz o modelo de oferta e demanda em equilíbrio, onde
Q_{d}=Q_{s},
com as funções
Q_{d}=21-3P
e
Q_{s}=-4+8P.
O conteúdo é cálculo do preço (P^*) e da quantidade (Q^*) de equilíbrio. Vamos usar duas formas: (a) eliminando variáveis e (b) aplicando as fórmulas padrão de equilíbrio.

Passo 2

Para eliminar variáveis, igualamos oferta e demanda:
21 - 3P = -4 + 8P.
Reagrupando termos de P e constantes, temos
21 + 4 = 8P + 3P \quad\Longrightarrow\quad 25 = 11P
Logo
P^* = \frac{25}{11}.
Para achar Q^*, substituímos em Q_{d}:
Q^* = 21 - 3\!\left(\frac{25}{11}\right) = \frac{231 - 75}{11} = \frac{156}{11}.

Passo 3

Agora usamos as fórmulas (3.4) e (3.5), que para
Q_{d}=a - bP \quad\text{e}\quad Q_{s}=c + dP
dão
P^* = \frac{a - c}{\,b + d\,}, \qquad Q^* = \frac{a\,d + b\,c}{\,b + d\,}.
No nosso caso, a=21, b=3, c=-4 e d=8. Então
P^* = \frac{21 - (-4)}{3 + 8} = \frac{25}{11},
Q^* = \frac{21\cdot8 + 3\cdot(-4)}{3 + 8} = \frac{168 - 12}{11} = \frac{156}{11}.

Passo 4

As duas abordagens coincidem, confirmando que o equilíbrio do mercado é
P^* = \frac{25}{11}, \qquad Q^* = \frac{156}{11}.

Resposta

P^* = \tfrac{25}{11},\quad Q^* = \tfrac{156}{11}.

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