Considere a função
f(x, y)= x y(x^2-y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Mostre que fx(0, y)=-y, forall y in R e fy(x, 0)=x, forall x in R.
(Dica: use a definição de derivadas parciais, limites.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)= dfracx,y,(x^2 - y^2)x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
usando a definição
fx(a,b)=limhto0f(a+h,b)-f(a,b)h, fy(a,b)=limkto0f(a,b+k)-f(a,b)k
Vamos aplicar isso primeiro em (a,b)=(0,y) e depois em (a,b)=(x,0).

Passo 2

Para fx(0,y) com y fixo, usamos
fx(0,y) =limhto0f(0+h,y)-f(0,y)h =limhto0f(h,y)-0h,
pois f(0,y)=0 para todo y. Para hneq0 temos
f(h,y) =h,y,(h^2-y^2)h^2+y^2,
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f(h,y)h =h,y,(h^2-y^2)h,(h^2+y^2) =y;h^2-y^2h^2+y^2
Fazendo hto0 isto tende a
y;0-y^20+y^2 =y;(-1) =-y
Portanto
fx(0,y)=-y, forall yinR

Passo 3

Para fy(x,0) com x fixo, fazemos
fy(x,0) =limkto0f(x,0+k)-f(x,0)k =limkto0f(x,k)-0k,
pois f(x,0)=0. Para kneq0 vale
f(x,k) =x,k,(x^2-k^2)x^2+k^2,
então
f(x,k)k =x;x^2-k^2x^2+k^2
Fazendo kto0 obtemos
x;x^2-0x^2+0 =x
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fy(x,0)=x, forall xinR

Resposta

fx(0,y)=-y para todo yinR e
fy(x,0)=x para todo xinR.

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