Determine a área da região descrita.
A região interna à cardióide r=1+cos theta que está no primeiro quadrante.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos. A região é tudo que está “dentro” da cardioide
r = 1 + costheta
e restrita ao primeiro quadrante, ou seja, theta varia de 0 a tfracpi2. Para calcular a área em coordenadas polares, vamos usar a fórmula
A = 12 integraltheta1^theta2 r(theta)^2 , dtheta

Passo 2

Aplicando a fórmula à nossa região temos
A = 12 integral0^pi/2 l(1 + costhetar)^2 , dtheta
Nosso próximo passo é expandir o quadrado para facilitar a integração.

Passo 3

Expandindo l(1 + costhetar)^2:
l(1 + costhetar)^2 = 1 + 2costheta + cos^2theta
Usando a identidade cos^2theta = tfrac1 + cos2theta2, obtemos
1 + 2costheta + 1 + cos2theta2 = 32 + 2costheta + 12cos2theta

Passo 4

Substituímos na integral e integramos termo a termo:
A = 12 integral0^pi/2 l(tfrac32 + 2costheta + tfrac12cos2thetar),dtheta
Uma primitiva é
integral l(tfrac32 + 2costheta + tfrac12cos2thetar)dtheta = 32,theta + 2sintheta + 14sin2theta
Avaliando de 0 a tfracpi2
32cdotpi2 + 2sin!l(tfracpi2r) + 14sinpi = 3pi4 + 2 + 0

Passo 5

Multiplicando por tfrac12, a área final fica
A = 12l(3pi4 + 2r) = 3pi8 + 1

Resposta

A = 1 + 3pi8

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