Nos problemas abaixo, resolva a equação.
y^{-1} d y+y e^{\cos x} \sin x d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^-1,dy ;+; y,e^cos x,sin x,dx ;=; 0
Essa é uma equação de variáveis separáveis: dá para colocar todos os fatores em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Começamos isolando dy e dx. Primeiro escrevemos
dyy ;=; -,y,e^cos x,sin x,dx
e então dividimos por y de novo para agrupar em potência de y:
dyy^2 ;=; -,e^cos x,sin x,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral dyy^2 e -,integral e^cos x,sin x,dx

Passo 4

No lado esquerdo usamos
integral y^-2,dy = -,y^-1
No lado direito fazemos a substituição u=cos x, de modo que du=-sin x,dx, e obtemos
integral e^cos x,sin x,dx = -integral e^u,du = -,e^u = -,e^cos x
Como havia um sinal menos à frente, o resultado total do lado direito fica e^cos x. Logo
-,y^-1 = e^cos x + C

Passo 5

Bastam agora reescrever para y. Multiplicando por -1 e invertendo:
1y = -,e^cos x + C' Longrightarrow y = 1,C' - e^cos x,,
onde C' é a constante geral de integração.

Resposta

y(x) = 1,C - e^cos x,,
com C constante arbitrária.

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