Use a derivação implícita para determinar partial z / partial x e partial z / partial y.
x-z=arctg(y z)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x - z = arctan(yz)
e pede as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y.
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados em relação a x (mantendo y fixo) e em relação a y (mantendo x fixo), lembrando que z=z(x,y).

Passo 2

Diferenciando em relação a x com y constante, temos
ddx(x) - ddx(z) = ddxl(arctan(yz)r)
Isto é,
1 - partial zpartial x = 11+(yz)^2;l(y,partial zpartial xr)

Passo 3

Agora agrupamos os termos que envolvem partial z/partial x:
1 = partial zpartial x + y1+y^2z^2;partial zpartial x = partial zpartial xl(1 + y1+y^2z^2r)
Logo,
partial zpartial x = 11 + y1+y^2z^2 = 1+y^2z^21 + y + y^2z^2

Passo 4

Diferenciando em relação a y com x constante, obtemos
ddy(x) - ddy(z) = ddyl(arctan(yz)r)
ou seja
0 - partial zpartial y = 11+(yz)^2l(z + y,partial zpartial yr),
isto é,
-partial zpartial y = z + y,partial zpartial y1+y^2z^2

Passo 5

Multiplicando por 1+y^2z^2 e agrupando partial z/partial y, vem
-l(1+y^2z^2r)partial zpartial y = z + y,partial zpartial y ;;Longrightarrow;; -partial zpartial yl(1 + y + y^2z^2r) = z,
portanto
partial zpartial y = -z1 + y + y^2z^2

Resposta

partial zpartial x = 1 + y^2z^21 + y + y^2z^2 e partial zpartial y = -z1 + y + y^2z^2

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