Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I:. Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere quando for o caso.
y y{\prime}=e{x} ; \quad y(0)=1).

Passo 1

O enunciado dá o P.V.I.
(1+e^x),y,y' = e^x, y(0)=1
O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem e separável: basta isolar y e x em lados opostos.

Passo 2

Antes de separar, verificamos se há solução constante y(x)equiv C. Nesse caso y'=0 e o lado esquerdo seria zero, mas o lado direito é e^x>0. Logo não existe solução constante.

Passo 3

Passamos y para junto de dy e expressamos y' como dy/dx:
(1+e^x),y,dydx = e^x Longrightarrow y,dy = e^x1+e^x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral e^x1+e^x,dx Longrightarrow y^22 = lnl(1+e^xr) + C
Multiplicando por 2,
y^2 = 2,lnl(1+e^xr) + C1

Passo 5

Usamos y(0)=1 para achar a constante:
1^2 = 2,lnl(1+e^0r) + C1 ;Longrightarrow; 1 = 2,ln2 + C1 ;Longrightarrow; C1 = 1 - 2,ln2

Passo 6

Substituindo em y^2 e escolhendo o ramo positivo (pois y(0)=1>0), obtemos:
y^2 = 2,lnl(1+e^xr) + 1 - 2,ln2,
y = raiz,2,lnl(1+e^xr) + 1 - 2,ln2,

Resposta

y(x) = raiz,2,lnl(1+e^xr) + 1 - 2,ln2,

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