Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I:. Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere
quando for o caso.
y y{\prime}=e{x} ; \quad y(0)=1).
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere
y y{\prime}=e{x} ; \quad y(0)=1).
Passo 1
O enunciado dá o P.V.I.
O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem e separável: basta isolar
e
em lados opostos.
Passo 2
Antes de separar, verificamos se há solução constante
. Nesse caso
e o lado esquerdo seria zero, mas o lado direito é
. Logo não existe solução constante.
Passo 3
Passamos
para junto de
e expressamos
como
:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2,
Passo 5
Usamos
para achar a constante:
Passo 6
Substituindo em
e escolhendo o ramo positivo (pois
), obtemos: