J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum arctg k1+k^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumk=1^infty arctgk1+k^2
converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da comparação em limite (ou comparação direta) com a p-série sum1/k^2.

Passo 2

Observamos que, para ktoinfty,
arctgktopi/2 e
arctgk1+k^2 sim pi/2k^2
Para aplicar o teste da comparação em limite, calculamos
limktoinfty arctgk1+k^2 1k^2 =limktoinftyl(arctgkr), k^21+k^2 =pi2cdot1 =pi2in(0,infty)

Passo 3

Como
sumk=1^infty1k^2
é convergente (p-série com p=2>1) e o limite acima é finito e não nulo, conclui-se pela comparação em limite que
sumk=1^inftyarctgk1+k^2
também converge.

Resposta

A série converge, por aplicação do teste da comparação em limite com a p-série sum1/k^2.

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