Considere a função
Mostre que
é uma função bijetiva.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
queremos mostrar que
é bijetiva, ou seja, que é injetiva e sobrejetiva. Para isso usaremos:
– Definição de injetividade: .
– Definição de sobrejetividade: para todo existe
tal que
.
– Definição de injetividade:
– Definição de sobrejetividade: para todo
Passo 2
(Prova da injetividade) Suponha que
Isso significa
. Aplicando a transposição em ambos os lados, usamos o fato de que
para qualquer matriz
. Assim
Portanto
é injetiva.
Passo 3
(Prova da sobrejetividade) Seja
uma matriz qualquer em
. Definimos
Então
Logo, para cada
existe
com
, e
é sobrejetiva.
Passo 4
Como
é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva, concluímos que
é bijetiva. Além disso, observa-se que
, pois aplicar a transposição duas vezes retorna a matriz original.
Resposta
A aplicação
é bijetiva.