Considere a função
f: M2(R) & M2(R) X & sim X^t
Mostre que f é uma função bijetiva.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
f: M2(R) to M2(R), X mapsto X^t,
queremos mostrar que f é bijetiva, ou seja, que é injetiva e sobrejetiva. Para isso usaremos:
– Definição de injetividade: f(X)=f(Y)implies X=Y.
– Definição de sobrejetividade: para todo Bin M2(R) existe Ain M2(R) tal que f(A)=B.

Passo 2

(Prova da injetividade) Suponha que
f(X)=f(Y)
Isso significa X^t=Y^t. Aplicando a transposição em ambos os lados, usamos o fato de que (Z^t)^t=Z para qualquer matriz Z. Assim
(X^t)^t = (Y^t)^t Longrightarrow X = Y
Portanto f é injetiva.

Passo 3

(Prova da sobrejetividade) Seja B uma matriz qualquer em M2(R). Definimos
A = B^t
Então
f(A) = A^t = (B^t)^t = B
Logo, para cada B existe A com f(A)=B, e f é sobrejetiva.

Passo 4

Como f é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva, concluímos que f é bijetiva. Além disso, observa-se que f^-1=f, pois aplicar a transposição duas vezes retorna a matriz original.

Resposta

A aplicação f(X)=X^t é bijetiva.

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