Verifique se existe X in M2(R) tal que X A=I2; onde A=[ll7 & 1 0 & 1]2 times 2. Caso exista, verifique também A X=I2. Nesse caso, como vimos, dizemos A é inversível com inversa que X=A^-1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe uma matriz X in M2(R) tal que
X A = I2,
onde
A = 7 & 1 0 & 1
O conteúdo aqui é o estudo de matrizes invertíveis em M2(R). Para resolver, vamos usar o critério determinante e, em seguida, calcular explicitamente os coeficientes de X.

Passo 2

Calculamos o determinante de A. Como A é triangular superior,
det(A) = 7 cdot 1 - 0 cdot 1 = 7 neq 0
Como det(A)neq0, concluímos que A é invertível em M2(R) e portanto existe X tal que X,A=I2.

Passo 3

Para encontrar X, escrevemos
X = a & b c & d
e impostamos
X A = a & b c & d 7 & 1 0 & 1 = 7a & a+b 7c & c+d = 1 & 0 0 & 1

Passo 4

Comparando entradas, obtemos o sistema
7a = 1, a + b = 0, 7c = 0, c + d = 1
Das duas primeiras equações vem
a = tfrac17, b = -a = -tfrac17
Das duas últimas vem
c = 0, d = 1
Logo
X = tfrac17 & -tfrac17 0 & 1

Passo 5

Agora verificamos que também
A X = 7 & 1 0 & 1 tfrac17 & -tfrac17 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1 = I2,
confirmando que X é de fato a inversa de A.

Resposta

A^-1 = tfrac17 & -tfrac17 0 & 1

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