Considere a função
(a) Mostre que
possui função inversa;
(b) Encontre a função inversa
;
(c) Em qual caso teremos
?
(b) Encontre a função inversa
(c) Em qual caso teremos
Passo 1
O enunciado define a transforma\c{c}~{a}o de M"{o}bius
com
e
.
Queremos (a) mostrar que \u00e9 invert\u00edvel, (b) achar
, e (c) descobrir quando
.
Queremos (a) mostrar que
Passo 2
Para ver que
é injetora basta notar que sua derivada
é sempre não nula (pois
e
no domínio). Logo
é estritamente monotônica, portanto injetora.
Além disso o teorema do valor intermediário garante que a imagem de é todo , de modo que
é também sobrejetora nesse contradomínio. Concluímos que
possui inversa.
Além disso o teorema do valor intermediário garante que a imagem de
Passo 3
Para achar explicitamente
, damos um nome ao valor imagem:
Multiplicando em cruz e isolando
em função de
:
Como
para todo
no contradomínio, temos
Substituindo
por
para escrever
,
Passo 4
Queremos saber quando
, ou seja,
Isso leva a uma identidade racional cujo numerador resultante é
Como
, a única forma de zerar esse polinômio para todo
é forçar
Não surgem outras condições independentes pois as demais coeficientes também se anulam quando
.
Resposta
(a)
é bijetora porque
e sua imagem é .
(b)
(b)
(c)
exatamente quando