Considere a função
f: R backslash-dc R backslashac, f(x)=a x+bc x+d, a d-b c neq 0, c neq 0
(a) Mostre que f possui função inversa;
(b) Encontre a função inversa f^-1(x);
(c) Em qual caso teremos f=f^-1 ?

Passo 1

O enunciado define a transforma\c{c}~{a}o de M"{o}bius
f: Rsetminusl-tfracdcrtoRsetminusltfracacr, f(x)=a,x+bc,x+d,
com ad-bcneq0 e cneq0.
Queremos (a) mostrar que f \u00e9 invert\u00edvel, (b) achar f^-1, e (c) descobrir quando f=f^-1.

Passo 2

Para ver que é injetora basta notar que sua derivada
é sempre não nula (pois e no domínio). Logo é estritamente monotônica, portanto injetora.
Além disso o teorema do valor intermediário garante que a imagem de é todo , de modo que é também sobrejetora nesse contradomínio. Concluímos que possui inversa.

Passo 3

Para achar explicitamente , damos um nome ao valor imagem:
Multiplicando em cruz e isolando em função de :
Como para todo no contradomínio, temos
Substituindo por para escrever ,

Passo 4

Queremos saber quando f=f^-1, ou seja,
a,x+bc,x+d equiv b - d,xc,x - a forall x
Isso leva a uma identidade racional cujo numerador resultante é
-c,(a+d),x^2+(a^2-d^2),x+b,(a+d)equiv0
Como cneq0, a única forma de zerar esse polinômio para todo x é forçar
a+d=0
Não surgem outras condições independentes pois as demais coeficientes também se anulam quando a+d=0.

Resposta

(a) é bijetora porque e sua imagem é .
(b)
(c) exatamente quando

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