Encontre a função inversa da função f(x) :
f(x)=x^2+x, x in[1 / 2,2];

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de fcolon[1/2,2]toR definida por
f(x)=x^2+x
Para isso, vamos verificar que f é estritamente monotônica (portanto invertível) em [1/2,2] e depois resolver a equação y=x^2+x para x.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=2x+1
Como em [1/2,2] temos 2x+1>=2cdot12+1=2>0, a função é estritamente crescente e, assim, tem inversa em seu contradomínio.

Passo 3

Seja y=f(x). Então
y = x^2+x Longrightarrow x^2+x - y = 0
Pela fórmula de Bhaskara, as soluções são
x = -1 pm raiz1 + 4y2

Passo 4

Como queremos xin[1/2,2], escolhemos o sinal “ +” na raiz, pois se usássemos o “ -” o valor de x seria negativo. Logo, a inversa é
f^-1(y)=-1 + raiz1 + 4y2
O valor mínimo de y ocorre em x=1/2, dando ymin=f(1/2)=tfrac34, e o máximo em x=2, dando ymax=6. Assim, a inversa está definida em [3/4,6].

Resposta

f^-1(x)=-1 + raiz1 + 4x2, xinl[tfrac34,6r]

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