Seja
Encontre os valores de A e B para que a função seja contínua e derivável em x= 1.
Faça o gráfico da função f.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= A x + B, & x<1, 2x^2-2, & x>=1,
e pede que ela seja contínua e derivável em x=1. Vamos usar a definição de continuidade (igualdade dos limites laterais) e de derivabilidade (igualdade das derivadas laterais) em x=1.
Passo 2
Para continuidade em x=1 exigimos
limxto1^-f(x) = limxto1^+f(x)
Como limxto1^-f(x)=Acdot1+B=A+B e limxto1^+f(x)=2cdot1^2-2=0, obtemos a equação
A + B = 0
Passo 3
Para diferenciabilidade em x=1 exigimos
limxto1^-f'(x) = limxto1^+f'(x)
A derivada à esquerda é f'(x)=A, logo limxto1^-f'(x)=A. À direita,
f'(x)=ddxl(2x^2-2r)=4x,
então
limxto1^+f'(x)=4cdot1=4
Igualando as derivadas, resulta
A = 4
Passo 4
Substituindo A=4 na condição de continuidade A+B=0, vem
4 + B = 0 Longrightarrow B = -4
Passo 5
O gráfico de f é a reta y=4x-4 para x<1 e a parábola y=2x^2-2 para x>=1. Note que ambas as curvas se encontram em (1,0) e têm a mesma inclinação ali, garantindo continuidade e suavidade.
Pontos notáveis: na reta, em x=0 temos f(0)=-4; na parábola, em x=2 temos f(2)=6.
Resposta
A=4,;B=-4.
O gráfico é a reta y=4x-4 para x<1 e a parábola y=2x^2-2 para x>=1, unidas suavemente em (1,0).