Verifique se os conjuntos a seguir são bases do espaço vetorial V.
B=(0,1,1,4),(1,1,-1,0),(1,2,3,1),(-2,-3,-5,2) de V=R^4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = (0,1,1,4),;(1,1,-1,0),;(1,2,3,1),;(-2,-3,-5,2)
é uma base de V=R^4. O conteúdo envolvido é o de bases em espaços vetoriais: em R^4, um conjunto de quatro vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (o que implica que gera todo o espaço).

Passo 2

Para checar independência, montamos os vetores como linhas de uma matriz 4times4:
M = 0 & 1 & 1 & 4 1 & 1 & -1 & 0 1 & 2 & 3 & 1 -2 & -3 & -5 & 2

Passo 3

Aplicamos operações elementares de linha para triangularizar M e determinar seu posto:
1. Troca L1 rightarrow L2:
1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 4 1 & 2 & 3 & 1 -2 & -3 & -5 & 2
2. Zera coluna ,1 em L3 e L4 com
L3 L3 - L1,
L4 L4 + 2L1:
1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 4 0 & 1 & 4 & 1 0 & -1 & -7 & 2
3. Zera coluna ,2 em L3 e L4 com
L3 L3 - L2,
L4 L4 + L2:
1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 4 0 & 0 & 3 & -3 0 & 0 & -6 & 6
4. Zera coluna ,3 em L4 com L4 L4 + 2L3:
1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 4 0 & 0 & 3 & -3 0 & 0 & 0 & 0
Como surge uma linha nula, temos rank(M)=3.

Passo 4

Em R^4, quatro vetores formam base somente se o posto for 4. Aqui rank(M)=3<4, então os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto B não é base de R^4.

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