Verifique se os conjuntos a seguir são bases do espaço vetorial V.
B=(2,-1,3),(0,1,0),(3,0,3) de V=R^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = (2,-1,3),,(0,1,0),,(3,0,3)
é uma base de V=R^3.
Para isso precisamos checar se esses três vetores são linearmente independentes (e, por terem mesma quantidade de vetores que a dimensão de R^3, daí também geram todo o espaço).

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são os vetores de B:
A = 2 & 0 & 3 [-6pt] -1 & 1 & 0 [-6pt] 3 & 0 & 3
O determinante de A pode ser calculado por expansão de Laplace na primeira linha:
det A = 2 1 & 0 [-3pt] 0 & 3 - 0 -1 & 0 [-3pt] 3 & 3 + 3 -1 & 1 [-3pt] 3 & 0
Agora, cada menor:
1 & 0 [-3pt] 0 & 3 = 1cdot 3 - 0cdot 0 = 3, -1 & 1 [-3pt] 3 & 0 = (-1)cdot 0 - 1cdot 3 = -3
Logo,
det A = 2cdot 3 + 3cdot(-3) = 6 - 9 = -3 ]

Passo 3

Como det A = -3 neq 0, os vetores são linearmente independentes. Em R^3, ter três vetores independentes implica que eles geram o espaço todo. Portanto B é uma base de R^3.

Resposta

O conjunto B é base de R^3, pois seu determinante é -3neq0.

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