Considere a função
m: C & M2(R) z=x+y i & sim m(z)=[cc x & y -y & x ]2 times 2
Mostre que:
forall varpi, gamma in C, vale que m(varpi+gamma)=m(varpi)+m(gamma).

Passo 1

O enunciado define a aplicação
mcolon Cto M2(R), m(x+yi)= x & y -y & x ,
e pede para mostrar que, para quaisquer varpi,gammainC, vale
m(varpi+gamma)=m(varpi)+m(gamma)
O conteúdo aqui é a verificação direta da aditividade, usando a soma de complexos e a soma de matrizes.

Passo 2

Sejam
varpi = x1 + y1i, gamma = x2 + y2i,
com x1,y1,x2,y2inR. Então
varpi + gamma = (x1+x2) + (y1+y2),i

Passo 3

Pelo defeito de m, temos
m(varpi+gamma) = x1+x2 & y1+y2 -(y1+y2) & x1+x2

Passo 4

Por outro lado,
m(varpi) = x1 & y1 -y1 & x1 , m(gamma) = x2 & y2 -y2 & x2 ,
e somando essas matrizes obtemos
m(varpi)+m(gamma) = x1+x2 & y1+y2 -(y1+y2) & x1+x2
Comparando com m(varpi+gamma), vemos que são iguais.

Resposta

Portanto, m(varpi+gamma)=m(varpi)+m(gamma) para todos varpi,gammainC.

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