Verifique que cada conjunto abaixo não é base do espaço vetorial real indicado.
B=1+t, t^2 em V=P2
Dicas: No item c ), exiba um vetor em P2 que não seja combinação linear de 1+t e t^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que B = ,1+t,;t^2 não é base do espaço vetorial V = P2. Lembre-se que uma base de V deve ser um conjunto de vetores linearmente independentes que gera todo V. Aqui vamos mostrar que B não gera P2.

Passo 2

O espaço P2 é formado pelos polinômios de grau no máximo 2, portanto dim(P2) = 3. Assim, qualquer base de P2 precisa ter exatamente 3 vetores. Como B tem apenas 2 vetores, já concluímos que B não pode ser base de P2.

Passo 3

Para ver explicitamente que
Igualando coeficientes de , de e de , obtemos o sistema
Esse sistema é incompatível (não há e ). Logo, , ou seja, não gera .

Resposta

O conjunto B=,1+t,;t^2 não é base de P2, pois não gera todo o espaço (por exemplo, o polinômio t não pode ser escrito como combinação linear de 1+t e t^2).

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