Determine as dimensões dos seguintes subespaços de
sobre
.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do subespaço
O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente a dimensão de subespaços. Vamos mostrar que
tem dois graus de liberdade (parâmetros
) e, portanto, dimensão
.
Passo 2
Definimos a aplicação linear
Por construção, o subespaço
é exatamente a imagem de
, ou seja,
Passo 3
Para usar o Teorema do Núcleo e Imagem, calculamos o núcleo de
. Se
então
As duas primeiras equações já dão
e
. Logo
, ou seja,
. Pelo Teorema da Dimensão (Rank-Nullity),
Passo 4
Alternativamente, basta exibir dois vetores em
que sejam linearmente independentes e gerem o subespaço. Tomando
vemos que
e
não são múltiplos um do outro e geram todos os vetores de
. Assim,
é base de
e
.