Determine as dimensões dos seguintes subespaços de R^4 sobre R.
W2=(a, b, a-b, a+b) mid a, b in R subset R^4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
W2 = (a, b, a - b, a + b)mid a,binRsubsetR^4
O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente a dimensão de subespaços. Vamos mostrar que W2 tem dois graus de liberdade (parâmetros a,b) e, portanto, dimensão 2.

Passo 2

Definimos a aplicação linear
fcolon R^2toR^4, f(a,b)=(a,,b,,a-b,,a+b)
Por construção, o subespaço W2 é exatamente a imagem de f, ou seja,
W2 = Im,f

Passo 3

Para usar o Teorema do Núcleo e Imagem, calculamos o núcleo de f. Se
f(a,b)=(0,0,0,0),
então
a=0, b=0, a-b=0, a+b=0
As duas primeiras equações já dão a=0 e b=0. Logo ker f=(0,0), ou seja, dimker f=0. Pelo Teorema da Dimensão (Rank-Nullity),
dimIm,f + dimker f = dimR^2Longrightarrow dim W2 + 0 = 2

Passo 4

Alternativamente, basta exibir dois vetores em W2 que sejam linearmente independentes e gerem o subespaço. Tomando
v1=f(1,0)=(1,0,1,1), v2=f(0,1)=(0,1,-1,1),
vemos que v1 e v2 não são múltiplos um do outro e geram todos os vetores de W2. Assim, v1,v2 é base de W2 e dim W2=2.

Resposta

dim(W2)=2

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