No espaço vetorial real , determine as dimensões dos subespaços abaixo. , formado pelas matrizes triangulares inferiores.
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do subespaço formado por todas as matrizes triangulares inferiores. O conteúdo aplicado é o de dimensão de subespaços: contamos quantos parâmetros livres há na forma geral de uma matriz desse tipo, ou então exibimos uma base.
Passo 2
Uma matriz triangular inferior tem a forma
onde cada aijinR para i>= j. Note que os elementos acima da diagonal principal são todos zero.
Passo 3
Os coeficientes livres são exatamente a11,a21,a22,a31,a32,a33,
ou seja, seis variáveis. Alternativamente, uma base de W2 é dada pelas matrizes elementares
E11,;E21,;E22,;E31,;E32,;E33,
onde Eij tem 1 na entrada (i,j) e zero nas demais, com i>= j.
Passo 4
Como uma base de W2 tem exatamente seis vetores, concluímos que