No espaço vetorial real M3(R), determine as dimensões dos subespaços abaixo.
W2, formado pelas matrizes triangulares inferiores.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço W2subset M3(R) formado por todas as matrizes triangulares inferiores. O conteúdo aplicado é o de dimensão de subespaços: contamos quantos parâmetros livres há na forma geral de uma matriz desse tipo, ou então exibimos uma base.

Passo 2

Uma matriz triangular inferior Ain W2 tem a forma
A = a11 & 0 & 0 a21 & a22 & 0 a31 & a32 & a33 ,
onde cada aijinR para i>= j. Note que os elementos acima da diagonal principal são todos zero.

Passo 3

Os coeficientes livres são exatamente
a11,a21,a22,a31,a32,a33,
ou seja, seis variáveis. Alternativamente, uma base de W2 é dada pelas matrizes elementares
E11,;E21,;E22,;E31,;E32,;E33,
onde Eij tem 1 na entrada (i,j) e zero nas demais, com i>= j.

Passo 4

Como uma base de W2 tem exatamente seis vetores, concluímos que
dim(W2) = 6

Resposta

dim(W2) = 6

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