Considere a função multivalente F. Quais são os pontos de ramo (existem dois) de ? Justifiqu sua resposta.

Passo 1

A gente tem a função multivalente F(z) = (z^2 + 1)^1/2. O tema aqui é pontos de ramo em funções com expoente fracionário e vamos usar a ideia de que zeros do radicando geram mudança de fase na continuação analítica.

Passo 2

Para uma função da forma (g(z))^1/2, os pontos de ramo finitos ocorrem onde g(z)=0, porque ao dar uma volta em torno desse ponto o argumento de g(z) muda em 2pi e a raiz muda de sinal.

Passo 3

No nosso caso g(z)=z^2+1. Resolvendo
z^2 + 1 = 0 implies z = pm i
vemos que os únicos zeros (e portanto os únicos pontos de ramo finitos) são z = i e z = -i.

Resposta

Os pontos de ramo de F(z)=(z^2+1)^1/2 são z=i e z=-i.

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