Exercício 1
a. Desenvolver em série de Fourier a função f: R R 2 pi-periodica par tal que para todo x in[0, pi], f(x)=1-2 xpi.
b. Calcular sumn=0^+infty 1(2 n+1)^2.
c. Caluclar sumn=1^+infty 1n^2.
d. Calcular sumn=1^+infty 1n^4.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier uma função 2π-periódica e par definida em [0,π] por f(x)=1−2x/π, e em seguida usar essa expansão para calcular as séries desejadas. Vamos usar teoria de séries de Fourier de funções pares, relação entre soma sobre ímpares e pares, e o teorema de Parseval.

Passo 2

Como f é par, as componentes senoidais desaparecem. Os coeficientes de Fourier são dados por
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx =2piintegral0^pil(1-2xpir)cos(nx),dx, bn=0
Primeiro o termo constante:
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx =2piintegral0^pil(1-2xpir),dx =0
Em seguida, para n≥1,
integral0^pi1cdotcos(nx),dx=0, integral0^pixcos(nx),dx=(-1)^n-1n^2
Assim,
an=2pil(-2pir)(-1)^n-1n^2 =-4pi^2(-1)^n-1n^2
Note que para n par temos a_n=0, e para n=2k+1,
(-1)^2k+1-1=-2 implies a2k+1=8pi^2(2k+1)^2

Passo 3

Da expressão dos coeficientes concluímos que a série de Fourier é
f(x)=sumk=0^infty8pi^2(2k+1)^2cosl((2k+1)xr)

Passo 4

Para calcular sumn=0^infty1(2n+1)^2, basta avaliar a série em x=0:
f(0)=1 implica
1=sumk=0^infty8pi^2(2k+1)^2 $$
\sum_{k=0}{\infty}\frac{1}{(2k+1)2}=\frac{\pi^2}{8}.
$$

Passo 5

Para sumn=1^infty1n^2 usamos que essa soma é a soma sobre ímpares mais sobre pares. Como
sumn=1^infty1n^2=sumk=0^infty1(2k+1)^2+sumk=1^infty1(2k)^2 =pi^28+14sumk=1^infty1k^2,
vem
34sumn=1^infty1n^2=pi^28 implies sumn=1^infty1n^2=pi^26

Passo 6

Para sumn=1^infty1n^4 aplicamos o teorema de Parseval. Para função 2π-periódica pares vale
1piintegral-pi^pif(x)^2,dx=a0^2/2+sumn=1^inftyan^2
Como a0=0 e f^2 é par,
2piintegral0^pil(1-2xpir)^2,dx =sumk=0^inftyl(8pi^2(2k+1)^2r)^2
Calculando a integral:
integral0^pil(1-2xpir)^2,dx=pi3 implies 2picdotpi3=23
Logo,
23=64pi^4sumk=0^infty1(2k+1)^4 implies sumk=0^infty1(2k+1)^4=pi^496
Como
sumn=1^infty1n^4=sumk=0^infty1(2k+1)^4+sumk=1^infty1(2k)^4 =pi^496+116sumn=1^infty1n^4,
vem
1516sumn=1^infty1n^4=pi^496 implies sumn=1^infty1n^4=pi^490

Resposta

f(x)=sumk=0^infty8pi^2(2k+1)^2cosl((2k+1)xr),
sumn=0^infty1(2n+1)^2=pi^28, sumn=1^infty1n^2=pi^26, sumn=1^infty1n^4=pi^490

Exercícios relacionados