Exercício 1
a. Desenvolver em série de Fourier a função
-periodica par tal que para todo
.
b. Calcular
.
c. Caluclar
.
d. Calcular
.
a. Desenvolver em série de Fourier a função
b. Calcular
c. Caluclar
d. Calcular
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier uma função 2π-periódica e par definida em [0,π] por f(x)=1−2x/π, e em seguida usar essa expansão para calcular as séries desejadas. Vamos usar teoria de séries de Fourier de funções pares, relação entre soma sobre ímpares e pares, e o teorema de Parseval.
Passo 2
Como f é par, as componentes senoidais desaparecem. Os coeficientes de Fourier são dados por
Primeiro o termo constante:
Em seguida, para n≥1,
Assim,
Note que para n par temos a_n=0, e para n=2k+1,
Passo 3
Da expressão dos coeficientes concluímos que a série de Fourier é
Passo 4
Para calcular
, basta avaliar a série em
:
f(0)=1 implica
f(0)=1 implica
\sum_{k=0}{\infty}\frac{1}{(2k+1)2}=\frac{\pi^2}{8}.
$$
Passo 5
Para
usamos que essa soma é a soma sobre ímpares mais sobre pares. Como
vem
Passo 6
Para
aplicamos o teorema de Parseval. Para função 2π-periódica pares vale
Como
e
é par,
Calculando a integral:
Logo,
Como
vem