Considere a função multivalente
.
(a) Qual é o ponto de ramo de
. Justifique sua resposta.
(b) Defina, de forma explícita, dois ramos distintos
e
de
. Em cada caso, especifique o corte de ramo.
(a) Qual é o ponto de ramo de
(b) Defina, de forma explícita, dois ramos distintos
Passo 1
O enunciado pede para achar o ponto de ramo da função multivalente
e depois definir explicitamente dois ramos distintos, indicando para cada um o corte de ramo.
Passo 2
Uma raiz quadrada
é multivalente porque seu argumento pode mudar de
. Assim o ponto onde o radicando
se anula é necessariamente ponto de ramo. Resolvendo
obtemos
.
Passo 3
Para definir um ramo expresso via logaritmo, escrevemos . No ramo principal, usamos o logaritmo principal com argumento em
. Logo definimos
Passo 4
O corte de ramo correspondente a
é o conjunto de
tais que
fica real e não positivo, isto é
Passo 5
Para obter um segundo ramo distinto, escolhemos um intervalo de argumento deslocado em
. Por exemplo
e definimos
Passo 6
Nesse caso o corte de ramo
é onde
fica real e não negativo:
Resposta
(a) O único ponto de ramo de
é
, pois é onde o radicando se anula e a função muda de valor ao dar volta em torno dele.
(b) Dois ramos distintos podem ser escolhidos assim:
(b) Dois ramos distintos podem ser escolhidos assim:
Ramo principal
: usar o logaritmo principal com ,
corte de ramo
.
Segundo ramo
: usar o argumento em
,
corte de ramo
.