Considere a função multivalente F(z)=(z-1+i)^1 / 2.
(a) Qual é o ponto de ramo de F. Justifique sua resposta.
(b) Defina, de forma explícita, dois ramos distintos f1 e f2 de F. Em cada caso, especifique o corte de ramo.

Passo 1

O enunciado pede para achar o ponto de ramo da função multivalente F(z)=(z-1+i)^1/2 e depois definir explicitamente dois ramos distintos, indicando para cada um o corte de ramo.

Passo 2

Uma raiz quadrada w^1/2 é multivalente porque seu argumento pode mudar de 2pi. Assim o ponto onde o radicando w=z-1+i se anula é necessariamente ponto de ramo. Resolvendo z-1+i=0 obtemos z=1-i.

Passo 3

Para definir um ramo expresso via logaritmo, escrevemos . No ramo principal, usamos o logaritmo principal com argumento em (z-1+i)^1/2=e^tfrac12Log(z-1+i). Logo definimos

Passo 4

O corte de ramo correspondente a f1 é o conjunto de z tais que z-1+i fica real e não positivo, isto é
L1=1-i+x: x<=0, xin R,

Passo 5

Para obter um segundo ramo distinto, escolhemos um intervalo de argumento deslocado em 2pi. Por exemplo
e definimos

Passo 6

Nesse caso o corte de ramo L2 é onde z-1+i fica real e não negativo:
L2=1-i+x: x>=0, xin R,

Resposta

(a) O único ponto de ramo de F(z)=(z-1+i)^1/2 é z=1-i, pois é onde o radicando se anula e a função muda de valor ao dar volta em torno dele.
(b) Dois ramos distintos podem ser escolhidos assim:
Ramo principal f1: usar o logaritmo principal com ,
corte de ramo Arg(z-1+i)in(-pi,pi).
Segundo ramo f1(z)=expl(tfrac12(ln|z-1+i|+iArg(z-1+i))r),: usar o argumento em L1=1-i+x:x<=0,
corte de ramo f2.

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