Considere a função multivalente
, que associa
ao conjunto das três raízes cúbicas de
. Defina, de forma explícita, três ramos distintos
e
de
que tenham o eixo real não negativo como um corte de ramo.
Passo 1
O exercício quer três ramos analíticos distintos de F(z)=z^{1/3} cujo corte de ramo seja o eixo real não negativo. Vamos usar a teoria de funções multivalentes e escolhas de argumento para isso.
Passo 2
Primeiro, escrevemos z em coordenadas polares excluindo o corte. Seja
onde escolhemos o argumento principal em
para garantir que o eixo real não negativo (θ=0 ou θ=2π) fique fora do domínio de cada ramo.
Passo 3
A definição geral das três raízes cúbicas vem de se adicionar múltiplos de 2π ao argumento. Logo, para k=0,1,2 temos
Passo 4
Basta agora escolher k=0,1,2 para obter três ramos distintos f_1,f_2,f_3, todos definidos e analíticos em
.
Resposta
Para z=re^{i\theta} com r>0 e
definimos