Considere a função multivalente F(z)=z^1 / 3, que associa z ao conjunto das três raízes cúbicas de z. Defina, de forma explícita, três ramos distintos f1, f2 e f3 de F que tenham o eixo real não negativo como um corte de ramo.

Passo 1

O exercício quer três ramos analíticos distintos de F(z)=z^{1/3} cujo corte de ramo seja o eixo real não negativo. Vamos usar a teoria de funções multivalentes e escolhas de argumento para isso.

Passo 2

Primeiro, escrevemos z em coordenadas polares excluindo o corte. Seja
onde escolhemos o argumento principal em
z = r e^itheta, r>0, theta = Arg(z),
para garantir que o eixo real não negativo (θ=0 ou θ=2π) fique fora do domínio de cada ramo.

Passo 3

A definição geral das três raízes cúbicas vem de se adicionar múltiplos de 2π ao argumento. Logo, para k=0,1,2 temos
z^1/3 = expl(ln r + i(theta + 2pi k)3r) = r^1/3 e^i(theta + 2pi k)/3

Passo 4

Basta agora escolher k=0,1,2 para obter três ramos distintos f_1,f_2,f_3, todos definidos e analíticos em Csetminus[0,+infty).

Resposta

Para z=re^{i\theta} com r>0 e 0 definimos
f1(z)=r^1/3e^itheta/3, f2(z)=r^1/3e^i(theta+2pi)/3, f3(z)=r^1/3e^i(theta+4pi)/3

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