Seja a equação diferencial seguinte :
(x^2-1) y^prime+2 x y=1
a. Calcular a solução geral num intervalo que não contem -1 e 1 .
b. Existe uma solução definida em ]-1,+infty[? em R ?

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial de primeira ordem (x^2-1)y'+2xy=1em um intervalo que não contenha os pontos singulares x=pm1, e depois verificar se existe uma solução definida em ]-1,+infty[ e em R. O conteúdo é equação linear de primeira ordem e vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, dividimos a equação por x^2-1 (válido sempre que x^2-1neq0) para pôr na forma padrão y'+P(x)y=Q(x):
y'+2xx^2-1,y=1x^2-1
Aqui P(x)=tfrac2xx^2-1 e Q(x)=tfrac1x^2-1.

Passo 3

O próximo passo é achar o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 2xx^2-1,dx Vamos calcular:
integral 2xx^2-1,dx=ln|x^2-1|+C1,
então podemos tomar (num intervalo fixo sem trocar de sinal)
mu(x)=x^2-1

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=x^2-1 temos:
(x^2-1)y'+2xy=1,
que é exatamente
ddxl((x^2-1)yr)=1
Isso acontece porque por design o fator integrante faz o lado esquerdo virar derivada de (x^2-1)y.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral ddxl((x^2-1)yr),dx=integral 1,dxLongrightarrow (x^2-1)y=x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y=x+Cx^2-1
Essa é a solução geral válida em qualquer intervalo onde x^2-1neq0, ou seja, em cada um dos intervalos (-1,1), (1,+infty) ou .

Passo 7

Os pontos x=pm1 são singulares (o coeficiente de y' zera ali), então não dá pra estender a solução por eles. Logo não existe solução contínua em ]-1,+infty[ (que contém x=1) nem em R (que contém x=pm1).

Resposta

a) A solução geral é y(x)=x+Cx^2-1, válida em cada intervalo onde x^2-1neq0. b) Não existe solução definida em ]-1,+infty[ nem em R, pois os pontos x=pm1 são singulares.

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