Seja a equação diferencial seguinte :
a. Calcular a solução geral num intervalo que não contem -1 e 1 .
b. Existe uma solução definida em
?
b. Existe uma solução definida em
Passo 1
O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial de primeira ordem
em um intervalo que não contenha os pontos singulares
, e depois verificar se existe uma solução definida em
e em
. O conteúdo é equação linear de primeira ordem e vamos usar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, dividimos a equação por
(válido sempre que
) para pôr na forma padrão
:
Aqui
Passo 3
O próximo passo é achar o fator integrante
Vamos calcular:
então podemos tomar (num intervalo fixo sem trocar de sinal)
Passo 4
Multiplicando a forma padrão por
temos:
que é exatamente
Isso acontece porque por design o fator integrante faz o lado esquerdo virar derivada de
.
Passo 5
Integramos ambos os lados:
onde
Passo 6
Por fim, isolamos
:
Essa é a solução geral válida em qualquer intervalo onde
Passo 7
Os pontos
são singulares (o coeficiente de
zera ali), então não dá pra estender a solução por eles. Logo não existe solução contínua em
(que contém
) nem em
(que contém
).
Resposta
a) A solução geral é
, válida em cada intervalo onde
. b) Não existe solução definida em
nem em
, pois os pontos
são singulares.