Resolver as equações diferenciais seguintes em
:
b.
b.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear\
$$(x2+1)2y’-(x-1)2y=x3-x^2+x+1,\
$$com condição inicial
. Vamos usar o método do fator integrante. O conteúdo aqui é: reconhecer uma EDO linear na forma
e achar o fator integrante
.
Passo 2
Primeiro colocamos em forma padrão dividindo tudo por
:\
$$y’-\frac{(x-1)2}{(x2+1)2},y=\frac{x3-x2+x+1}{(x2+1)^2}.\
$$Dessa forma identificamos
Passo 3
Agora calculamos o fator integrante
. Precisamos de
$$\int P(x),dx=-\int \frac{(x-1)2}{(x2+1)^2},dx.
$$Note que
$$\frac{(x-1)2}{(x2+1)2}=\frac{x2-2x+1}{(x2+1)2}=rac{1}{x2+1}-\frac{2x}{(x2+1)^2}.
$$Integramos em duas partes:
Somando, obtemos
$$\int P(x),dx=-\Bigl(\arctan(x)+\frac{1}{x^2+1}\Bigr).
$$Logo
$$\mu(x)=e{-\arctan(x)-\frac{1}{x2+1}}.
$$
Passo 4
Multiplicamos a EDO original pelo fator integrante e observamos que o lado esquerdo se torna derivada de
:
$$\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr)=\mu(x)Q(x).
$$Integrando:
$$\mu(x)y=\int\mu(x)\frac{x3-x2+x+1}{(x2+1)2},dx+C.
$$Portanto a solução geral é
$$y(x)=e{\arctan(x)+\frac{1}{x2+1}}\Bigl(C+\intx_{0}\frac{s3-s2+s+1}{(s2+1)2}e{-\arctan(s)-\frac{1}{s^2+1}},ds\Bigr),
$$onde escolhemos limite baixo
no integral para facilitar a condição inicial.
Passo 5
Para aplicar
, note que
e
, então
$$y(0)=e^{0+1}\Bigl(C+0\Bigr)=Ce=3\implies C=\frac{3}{e}.
$$
Substituindo de volta, obtemos a solução particular que satisfaz .
Substituindo de volta, obtemos a solução particular que satisfaz