Resolver as equações diferenciais seguintes em R :
b.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear\
$$(x2+1)2y’-(x-1)2y=x3-x^2+x+1,\
$$com condição inicial (x^2+1)^2y'-(x-1)^2y=x^3-x^2+x+1, . Vamos usar o método do fator integrante. O conteúdo aqui é: reconhecer uma EDO linear na forma y(0)=3 e achar o fator integrante y'+P(x)y=Q(x).

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo tudo por (x^2+1)^2:\
$$y’-\frac{(x-1)2}{(x2+1)2},y=\frac{x3-x2+x+1}{(x2+1)^2}.\
$$Dessa forma identificamos
y'-(x-1)^2(x^2+1)^2,y=x^3-x^2+x+1(x^2+1)^2

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx. Precisamos de
$$\int P(x),dx=-\int \frac{(x-1)2}{(x2+1)^2},dx.
$$Note que
$$\frac{(x-1)2}{(x2+1)2}=\frac{x2-2x+1}{(x2+1)2}= rac{1}{x2+1}-\frac{2x}{(x2+1)^2}.
$$Integramos em duas partes:
integral P(x),dx=-integral (x-1)^2(x^2+1)^2,dx
(x-1)^2(x^2+1)^2=x^2-2x+1(x^2+1)^2= rac1x^2+1-2x(x^2+1)^2
Somando, obtemos
$$\int P(x),dx=-\Bigl(\arctan(x)+\frac{1}{x^2+1}\Bigr).
$$Logo
$$\mu(x)=e{-\arctan(x)-\frac{1}{x2+1}}.
$$

Passo 4

Multiplicamos a EDO original pelo fator integrante e observamos que o lado esquerdo se torna derivada de mu(x)y:
$$\frac{d}{dx}\bigl(\mu(x)y\bigr)=\mu(x)Q(x).
$$Integrando:
$$\mu(x)y=\int\mu(x)\frac{x3-x2+x+1}{(x2+1)2},dx+C.
$$Portanto a solução geral é
$$y(x)=e{\arctan(x)+\frac{1}{x2+1}}\Bigl(C+\intx_{0}\frac{s3-s2+s+1}{(s2+1)2}e{-\arctan(s)-\frac{1}{s^2+1}},ds\Bigr),
$$onde escolhemos limite baixo ddxl(mu(x)yr)=mu(x)Q(x) no integral para facilitar a condição inicial.

Passo 5

Para aplicar y(0)=3, note que arctan(0)=0 e 1/(0^2+1)=1, então
$$y(0)=e^{0+1}\Bigl(C+0\Bigr)=Ce=3\implies C=\frac{3}{e}.
$$
Substituindo de volta, obtemos a solução particular que satisfaz y(0)=e^0+1l(C+0r)=Ce=3implies C=3e .

Resposta

boxedy(x)=e^arctan(x)+1x^2+1gl(3e+integral0^xs^3-s^2+s+1(s^2+1)^2,e^-arctan(s)-1s^2+1,dsgr)

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