Considere a função f(x)=e^k x, com k in R não nulo.
(a) Use as propriedades da exponencial para verificar que
f(x+h)-f(x)h=k e^k x(e^h k-1k h)
(b) Use o limite do exercício anterior e a mudança devariáveis y=k h para verificar que (e^k x)^prime=k e^k x.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=e^k x,
com kinRsetminus0. Queremos mostrar em (a) uma fórmula para o quociente incremental
f(x+h)-f(x)h
usando propriedades da exponencial, e em (b) usar o limite
limyto0e^y-1y=1
(com a mudança de variável y=k h) para concluir que
l(e^k xr)'=k,e^k x

Passo 2

Para (a), use que
f(x+h)=e^k(x+h)=e^k x,e^k h
Então
f(x+h)-f(x)h =e^k xe^k h-e^k xh =e^k x,e^k h-1h
Agora multiplique e divida por k para isolar o fator k,e^k x:
e^k x,e^k h-1h = k,e^k x,e^k h-1k,h

Passo 3

Para (b), a derivada é
f'(x) =limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0k,e^k x,e^k h-1k,h
Como k,e^k x não depende de h, fatoramos:
f'(x) = k,e^k x,limhto0e^k h-1k,h
Fazendo a mudança de variável y=k,h, quando hto0 temos yto0 e
e^k h-1k,h =e^y-1y,xrightarrow[yto0],1
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f'(x) = k,e^k xtimes1 = k,e^k x

Resposta

l(e^k xr)'=k,e^k x

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