Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral
Esse é um caso de integral imprópria porque o integrando fica não limitado quando , ou seja, quando . Precisamos então reescrever a integral como limite e verificar se esse limite é finito (convergência) ou não (divergência).
Passo 2
Identificamos que o integrando
torna-se infinito em , já que faz o denominador zero. Logo reescrevemos
Passo 3
Para encontrar a primitiva, façamos a substituição
Então
Passo 4
Avaliamo-la como limite:
Quando ato1^+, ln ato0^+ e 12(ln a)^2to+infty, logo
limato1^+l(tfrac12-tfrac12(ln a)^2r)=-infty,
o que mostra que o valor da integral não é finito.
Resposta
A integral é imprópria por ter singularidade em x=1 e diverge (tende a -infty).