Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
integral1^e -1x(ln x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral
integral1^e-1x(ln x)^3,dx
Esse é um caso de integral imprópria porque o integrando fica não limitado quando ln xto0, ou seja, quando xto1^+. Precisamos então reescrever a integral como limite e verificar se esse limite é finito (convergência) ou não (divergência).

Passo 2

Identificamos que o integrando
-1x(ln x)^3
torna-se infinito em x=1, já que ln1=0 faz o denominador zero. Logo reescrevemos
integral1^e-1x(ln x)^3,dx =limato1^+integrala^e-1x(ln x)^3,dx

Passo 3

Para encontrar a primitiva, façamos a substituição
t=ln x, dt=dxx
Então
integral-1x(ln x)^3,dx =integral -t^-3,dt =t^-22+C =12t^2+C =12(ln x)^2+C

Passo 4

Avaliamo-la como limite:
integrala^e-1x(ln x)^3,dx =12(ln x)^2|x=a^x=e =12(ln e)^2-12(ln a)^2 =12-12(ln a)^2
Quando ato1^+, ln ato0^+ e 12(ln a)^2to+infty, logo
limato1^+l(tfrac12-tfrac12(ln a)^2r)=-infty,
o que mostra que o valor da integral não é finito.

Resposta

A integral é imprópria por ter singularidade em x=1 e diverge (tende a -infty).

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