Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
integral0^2 1raiz|x-1| d x

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que
integral0^21raizlvert x-1rvert,dx
é imprópria e para calcular seu valor, determinando se ela converge ou diverge. O conteúdo envolve integrais impróprias de função descontínua em ponto interior do intervalo, o que nos obriga a usar limites para definir cada parte.

Passo 2

O integrando 1raizlvert x-1rvert fica indefinido em x=1, pois ali lvert x-1rvert=0 e o denominador zera produzindo singularidade infinita. Logo, dividimos o integral em duas partes impróprias:
integral0^21raizlvert x-1rvert,dx =limato1^-integral0^a1raiz1-x,dx +limbto1^+integralb^21raizx-1,dx

Passo 3

Cálculo de limato1^-integral0^a1raiz1-x,dx. Note que para 0<= x<1 temos lvert x-1rvert=1-x, então
integral0^a(1-x)^-tfrac12,dx =l[-2raiz1-xr]0^a =-2raiz1-a+2raiz1-0
Fazendo ato1^-, obtemos
-2cdot0+2cdot1=2

Passo 4

Cálculo de limbto1^+integralb^21raizx-1,dx. Para 1<x<=2 temos lvert x-1rvert=x-1, então
integralb^2(x-1)^-tfrac12,dx =l[2raizx-1r]b^2 =2raiz2-1-2raizb-1
Fazendo bto1^+, obtemos
2cdot1-2cdot0=2

Passo 5

Somando as duas partes impróprias:
2 + 2 = 4
Ambas as integrais parciais convergem (a divergência seria se algum limite fosse infinito), portanto a integral original é convergente.

Resposta

A integral é imprópria devido à singularidade em x=1, mas convergente, e seu valor é 4.

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