Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para justificar por que
é imprópria e para calcular seu valor, determinando se ela converge ou diverge. O conteúdo envolve integrais impróprias de função descontínua em ponto interior do intervalo, o que nos obriga a usar limites para definir cada parte.
Passo 2
O integrando
fica indefinido em
, pois ali
e o denominador zera produzindo singularidade infinita. Logo, dividimos o integral em duas partes impróprias:
Passo 3
Cálculo de
. Note que para
temos
, então
Fazendo
, obtemos
Passo 4
Cálculo de
. Para
temos
, então
Fazendo
, obtemos
Passo 5
Somando as duas partes impróprias:
Ambas as integrais parciais convergem (a divergência seria se algum limite fosse infinito), portanto a integral original é convergente.
Resposta
A integral é imprópria devido à singularidade em
, mas convergente, e seu valor é
.