Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Resumimos o problema: queremos estudar a integral imprópria
Ela é imprópria porque o intervalo de integração é infinito em ambas as extremidades. Vamos decompor em
e analisar cada parte.
Passo 2
Para calcular
usamos a fórmula padrão de transformada de Laplace:
Aqui
e
, logo
Portanto
converge.
Passo 3
Agora olhamos
Quando
, temos
enquanto
oscila entre
e
. O produto
cresce sem limite em módulo, não tende a zero, então a integral em
não satisfaz o critério de convergência de uma integral imprópria. Concluímos que
diverge.
Resposta
A integral
é imprópria devido aos limites infinitos. A parte de
a
converge e vale
, mas a parte de
a
diverge. Logo, a integral total diverge.