Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
integral-infty^infty e^-x sen x d x

Passo 1

Resumimos o problema: queremos estudar a integral imprópria
integral-infty^inftye^-xsin x,dx
Ela é imprópria porque o intervalo de integração é infinito em ambas as extremidades. Vamos decompor em
I1=integral0^inftye^-xsin x,dx e I2=integral-infty^0e^-xsin x,dx
e analisar cada parte.

Passo 2

Para calcular
I1=integral0^inftye^-xsin x,dx
usamos a fórmula padrão de transformada de Laplace:
integral0^inftye^-axsin(bx),dx=ba^2+b^2, a>0
Aqui a=1 e b=1, logo
I1=11^2+1^2=12
Portanto I1 converge.

Passo 3

Agora olhamos
I2=integral-infty^0e^-xsin x,dx
Quando xto-infty, temos e^-x=e^|x|toinfty enquanto sin x oscila entre -1 e 1. O produto e^-xsin x cresce sem limite em módulo, não tende a zero, então a integral em (-infty,0] não satisfaz o critério de convergência de uma integral imprópria. Concluímos que I2 diverge.

Resposta

A integral
integral-infty^inftye^-xsin x,dx
é imprópria devido aos limites infinitos. A parte de 0 a infty converge e vale tfrac12, mas a parte de -infty a 0 diverge. Logo, a integral total diverge.

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