Considere a função f(x, y)=x^3-y^3+6 x y+2.
(1,0) Obtenha os pontos críticos de f.

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos da função
f(x,y)=x^3-y^3+6xy+2
Como pontos críticos são os pontos onde o gradiente de f zera, vamos usar cálculo de derivadas parciais e depois resolver o sistema nabla f=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=3x^2+6y,
partial fpartial y=-3y^2+6x

Passo 3

Impondo
Simplificando cada equação:
Substituindo , vem
ou seja

Passo 4

Para cada valor de y achamos x=tfracy^22:
  • Se y=0, então x=0.
  • Se y=-2, então x=tfrac(-2)^22=2.
Logo, os pontos críticos são
(0,0) e (2,-2)

Resposta

Os pontos críticos de f são (0,0) e (2,-2).

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