(2,0) Um sólido é obtido por meio da revolução da região delimitada por f(x)=raizx sen(x), x=-pi / 2 e x=pi / 2 em torno do eixo x. Assinale a opção que indica o volume do sólido:
(a) ( ) raiz2 pi
(b) ( ) -2 pi
(c) ( ) pi
(d) ( ) 2 pi
(e) ( ) pi^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região delimitada por
y=f(x)=raizxsin x, x=-pi2, x=pi2
O conteúdo é o método dos discos, que dá
V=piintegrala^b[f(x)]^2,dx

Passo 2

Como f(x)=raizxsin x, temos
[f(x)]^2 = xsin x,
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V = pi integral-pi2^pi2 xsin x ,dx

Passo 3

Observe que a função xsin x é par (produto de duas funções ímpares), então
integral-pi2^pi2 xsin x ,dx = 2integral0^pi2 xsin x ,dx

Passo 4

Para calcular integral0^pi2 xsin x ,dx, usamos integração por partes com
u = x, dv = sin x,dx, du = dx, v = -cos x
Então
integral xsin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x

Passo 5

Avaliaremos de 0 a pi2:
l[-xcos x + sin xr]0^pi2 = l[-tfracpi2cdot0 +1r] - l[0cdot1 +0r] =1
Portanto
integral-pi2^pi2 xsin x ,dx = 2cdot1 = 2

Passo 6

Finalmente,
V = pi times 2 = 2pi

Resposta

(d) 2pi

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