(2,0) Determine o plano tangente à superfície z=5 raizx^2+9+(y-3)^2 no ponto A=(4,6,34).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície
z = 5raizx^2+9 + (y-3)^2
no ponto A = (4,6,34).
Para isso, vamos usar a fórmula do plano tangente a z=f(x,y):
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
f(x,y) = 5raizx^2+9 + (y-3)^2 Longrightarrow fx(x,y) = 5 cdot 12raizx^2+9cdot 2x = 5xraizx^2+9
No ponto (4,6):
fx(4,6) = 5cdot 4raiz4^2+9 = 20raiz25 = 205 = 4

Passo 3

Agora a derivada parcial em relação a y:
fy(x,y) = partialpartial y(y-3)^2 = 2(y-3)
No ponto (4,6):
fy(4,6) = 2,(6-3) = 6

Passo 4

Substituindo x0=4, y0=6, z0=34, fx(4,6)=4 e fy(4,6)=6 na fórmula do plano tangente:
z - 34 = 4,(x-4) + 6,(y-6)

Passo 5

Bast a simplificar a expressão:
z - 34 = 4x - 16 + 6y - 36 Longrightarrow z = 4x + 6y - 18

Resposta

z = 4x + 6y - 18

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